حل الفصل الثاني العلاقات والدوال الخطية رياضيات ثالث متوسط ف1

الفصل الثاني: العلاقات والدوال الخطية

فيما سبق درست حل المعادلات الخطية جبرياً، والآن أمثل العلاقات والدوال، أميز المعادلة الخطية وأحدد مقطعيها السيني والصادي، أمثل المعادلات الخطية بيانيًا وأكتبها، أستعمل معدل التغير لحل المسائل، أتعرف المتتابعات الحسابية كدوال خطية.

التهيئة للفصل 2 – اختبار سريع

مثل كل زوج مرتب مما يأتي في المستوى الإحداثي

1. (3، 6)
2. (0، 3)
3. (1، 2-)

اكتب الزوج المرتب الذي يمثل كل نقطة فيما يأتي

• أ: الحل (3، 1-)
• ب: الحل (2، 4-)
• جـ: الحل (3، 2)
• د: الحل (4-، 7-)

حل كلا من المعادلات الآتية

• المعادلة (8): ٣س = ٨
  الحل: المعادلة الأصلية ٣س = ٨، اقسم كلا الطرفين على ٣، س = ٤ (أو حسب النص)، بسط.
• المعادلة (9): س + ١ = ٦
  الحل: المعادلة الأصلية س + ١ = ٦، اطرح ١ من كلا الطرفين، س = ٥، بسط.
• المعادلة (10): س – ١ = ٥
  الحل: المعادلة الأصلية س – ١ = ٥، أضف ١ إلى كلا الطرفين، س = ٦، بسط.
• المعادلة (11): \(\frac{1}{2}\)س = ٤ (أو ما يناظره)
  الحل: المعادلة الأصلية، اضرب كلا الطرفين، بسط.

الدرس 2-1: العلاقات

يتكون النظام الإحداثي من تقاطع خطي أعداد هما المحور الأفقي والمحور الرأسي. يطلق على النظام الإحداثي أيضاً اسم المستوى الإحداثي.

تحدد كل نقطة في المستوى الإحداثي بزوج مرتب. الزوج المرتب هما عددان يكتبان على الصورة (س، ص).

تسمى مجموعة الأزواج المرتبة علاقة، ويمكن وصف هذه العلاقة بعدة طرائق: أزواج مرتبة، تمثيل بياني، جدول، مخطط سهمي.

يطلق على مجموعة الأعداد الأولى في الأزواج المرتبة المجال، وعلى مجموعة الأعداد الثانية المدى.

التحقق من فهمك

المتغير المستقل والمتغير التابع:

• يزداد ضغط الهواء داخل إطار السيارة مع ازدياد درجة الحرارة. الحل: درجة الحرارة متغير مستقل لأنها لا تتأثر بضغط الهواء، أما ضغط الهواء فهو متغير تابع لأنه يعتمد على درجة الحرارة.
• كلما قلت كمية المطر انخفض مستوى سطح الماء في النهر. الحل: كمية المطر متغير مستقل، ومستوى سطح الماء متغير تابع.

الدرس 2-2: الدوال

الدالة هي علاقة يرتبط فيها كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المدى.

اختبار الخط الرأسي: إذا لم يقطع أي خط رأسي التمثيل البياني بأكثر من نقطة، فإن العلاقة تمثل دالة.

أمثلة على قيم الدوال

إذا كان د(س) = ٢س – ٣، فأوجد:

• د(١) = ٢(١) – ٣ = ٢ – ٣ = ١-
• د(٥) – ٦ = [٢(٥) – ٣] – ٦ = [٧] – ٦ = ١

الدرس 2-3: تمثيل المعادلات الخطية بيانيا

المعادلة الخطية هي معادلة يمكن كتابتها على الصورة القياسية: أ س + ب ص = جـ.

المقطع السيني لمستقيم هو الإحداثي السيني للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات (عندما ص = ٠).

المقطع الصادي لمستقيم هو الإحداثي الصادي للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات (عندما س = ٠).

الدرس 2-4: حل المعادلات الخطية بيانيا

حل المعادلة أو الجذر هو أي قيمة تجعل المعادلة صحيحة. وللمعادلة الخطية جذر واحد على الأكثر.

أصفار الدالة هي قيم س التي تجعل د(س) = ٠ وتقع عند المقطع السيني لها.

خطوات الحل البياني والجبري

• لإيجاد صفر الدالة أو حل المعادلة خطياً، نضع د(س) = ٠ أو ص = ٠ ونحل المعادلة بالنسبة لـ س.
• التمثيل البياني للدالة المرتبطة يقطع محور السينات عند نقطة تمثل حل المعادلة أو صفر الدالة.