الفهرس

الفصل الأول: الجبر – الأعداد النسبية

• (1-1) الأعداد النسبية
• (1-2) مقارنة الأعداد النسبية
• (1-3) ضرب الأعداد النسبية
• (1-4) قسمة الأعداد النسبية
• (1-5) جمع الأعداد النسبية ذات المقامات المتشابهة وطرحها
• (1-6) جمع الأعداد النسبية ذات المقامات المختلفة وطرحها
• (1-7) استراتيجية حل المسألة (البحث عن نمط)
• (1-8) القوى والأسس
• (1-9) الصيغة العلمية

الفصل الثاني: الأعداد الحقيقية

• (2-1) الجذور التربيعية
• (2-2) تقدير الجذور التربيعية
• (2-3) استراتيجية حل المسألة (استعمال أشكال فن)
• (2-4) الأعداد الحقيقية
• (2-5) نظرية فيثاغورس
• (2-6) تطبيقات على نظرية فيثاغورس
• (2-7) هندسة: الأبعاد في المستوى الإحداثي

الفصل الثالث: التناسب والتشابه

• (3-1) العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة
• (3-2) معدل التغير
• (3-3) المعدل الثابت للتغير
• (3-4) حل التناسب
• (3-5) استراتيجية حل المسألة (الرسم)
• (3-6) تشابه المضلعات
• (3-7) التكبير والتصغير
• (3-8) القياس غير المباشر

الفصل الرابع: النسبة المئوية

• (4-1) إيجاد النسب المئوية ذهنياً
• (4-2) النسبة المئوية والتقدير
• (4-3) استراتيجية حل المسألة (التحقق من معقولية الحل)
• (4-4) الجبر: المعادلة المئوية
• (4-5) التغير المئوي

الفصل الخامس: الهندسة والاستدلال المكاني

• (5-1) علاقات الزوايا والمستقيمات
• (5-2) استراتيجية حل المسألة (التبرير المنطقي)
• (5-3) المضلعات والزوايا
• (5-4) تطابق المضلعات
• (5-5) التماثل
• (5-6) الانعكاس
• (5-7) الانسحاب

---

الفصل الأول: الجبر – الأعداد النسبية

(1-1) الأعداد النسبية

شجرة تصنيف الأعداد النسبية

• كسور اعتيادية: مثل 2/5
• كسور عشرية: مثل 0.4
• أعداد كسرية: مثل 1 و1/4

تحويل عدد كسري إلى كسر اعتيادي

مثال: 3 و1/11

3 و1/11 = (11/11 + 11/11 + 11/11 + 1/11) = 34/11

تحويل كسر اعتيادي إلى كسر عشري

مثال: 2/5

باستخدام القسمة المطولة: 2 ÷ 5 = 0.4

تحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي

مثال 1: 0.14 = 14/100 = 7/50 (في أبسط صورة)

مثال 2: 0.27 (دوري) = 27/99 = 3/11 (في أبسط صورة)

---

(1-2) مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها

طرق المقارنة بين الأعداد النسبية

1. إذا كانت المقامات متشابهة: نقارن بين أعداد البسط فقط.
2. إذا كانت المقامات غير متشابهة:
   • توحد المقامات بتحويل أحد الكسرين لنفس مقام الآخر.
   • أو توحد المقامات بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) لمقامات الأعداد.
3. إذا كان أحدهما عشري والآخر اعتيادي: نحول أحدهما للآخر ونقارن (مع مراعاة الإشارات عند المقارنة).

أمثلة مقارنة

مثال: قارن بين 3/5 و 4/9

المقام المشترك 45:

3/5 = 27/45

4/9 = 20/45

بما أن 27/45 > 20/45 فإن 3/5 > 4/9

---

(1-3) ضرب الأعداد النسبية

القاعدة العامة

(أ / ب) × (جـ / د) = (أ × جـ) / (ب × د)

الحالات المختلفة لضرب الأعداد النسبية

• ضرب كسر اعتيادي في عدد صحيح: نضع مقام العدد الصحيح دائمًا يساوي 1.

  مثال: (5/6) × 2 = (5/6) × (2/1) = 10/6 = 5/3

• ضرب كسر اعتيادي في كسر عشري: نحول الكسر العشري إلى كسر اعتيادي ثم نضرب.

  مثال: (1/2) × 0.5 = (1/2) × (1/2) = 1/4

• ضرب عدد كسري في عدد كسري: نحول الأعداد الكسرية إلى كسور اعتيادية أولاً.

  مثال: (2 و1/2) × (1 و1/3) = (5/2) × (4/3) = 20/6 = 10/3

ملاحظة: الناتج يجب أن يكون دائماً في أبسط صورة.

قاعدة الإشارات في الضرب

• موجب × موجب = موجب (+)
• سالب × سالب = موجب (+)
• موجب × سالب = سالب (-)

---

(1-4) قسمة الأعداد النسبية

النظير الضربي (المقلوب)

النظير الضربي للكسر (أ / ب) هو (ب / أ)، مع عدم تغيير الإشارة.

خطوات قسمة الأعداد النسبية

1. أنزل الكسر الأول كما هو.
2. غير إشارة القسمة (÷) إلى ضرب (×).
3. اكتب النظير الضربي للكسر الثاني.

مثال: (3/4) ÷ (5/2) = (3/4) × (2/5) = 6/20 = 3/10

قاعدة الإشارات في القسمة

• (-) ÷ (-) = (+)
• (-) ÷ (+) = (-)

---

(1-5) جمع الأعداد النسبية ذات المقامات المتشابهة وطرحها

القاعدة

(أ / ب) ± (جـ / ب) = (أ ± جـ) / ب

أمثلة

• جمع كسور متشابهة المقامات:

  5/9 + 4/9 = 9/9 = 1

• طرح كسور متشابهة المقامات:

  (3/8) – (7/8) = -4/8 = -1/2

• طرح أعداد سالبة:

  (-3/7) – (5/7) = -8/7

تنبيه: نضع الناتج في أبسط صورة ونطبق قواعد إشارات الجمع والطرح.

---

(1-6) جمع الأعداد النسبية ذات المقامات المختلفة وطرحها

طرق الحل

1. جعل أحد المقامين كالأخر:

   مثال: 5/6 + 1/3 = 5/6 + 2/6 = 7/6

2. إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ):

   مثال: 1/14 – 1/7 = 1/14 – 2/14 = -1/14

3. ضرب المقامات في بعضها:

   مثال: 1/4 + 1/3 = (3/12) + (4/12) = 7/12

---

(1-7) استراتيجية حل المسألة: البحث عن نمط

المسألة: أوجد محيط الشكلين التاليين من النمط إذا علمت أن المثلثات متطابقة الأضلاع وطول ضلع كل مثلث هو 4 م.

الخطوات

• افهم: تعلم أن المثلث متساوي الأضلاع وطول ضلعه 4 م. الأشكال توضح عدد أضلاع كل شكل.
• خطط: نحسب محيط الأشكال المعطاة ونبحث عن نمط تسير عليه الأشكال التالية من خلال إنشاء جدول.
• حل:
  

  الشكل	الأول	الثاني	الثالث	الرابع	الخامس
  المحيط	12	16	20	24	28

  محيط الشكلين التاليين هو 24 م و 28 م.

• تحقق: التحقق من النمط للوصول للإجابة الصحيحة.

---

(1-8) القوى والأسس

2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴

• الأساس = 2
• الأس = 4 (عدد تكرار ضرب الأساس)

قواعد مهمة في الأسس

• أ⁰ = 1
• أ¹ = أ
• أ^-2 = 1 / أ²
• (أ / ب)^-3 = (ب / أ)³ (النظير الضربي للأس السالب)

---

(1-9) الصيغة العلمية

التحويل من الصيغة العلمية إلى القياسية

• الأس موجب: نتحرك الفاصلة إلى اليمين.

  مثال: 5.34 × 10⁴ = 53400

• الأس سالب: نتحرك الفاصلة إلى اليسار.

  مثال: 5.34 × 10^-3 = 0.00534

التحويل من الصيغة القياسية إلى العلمية

1. ضع الفاصلة بعد أول عدد صحيح غير الصفر من اليسار.
2. عد عدد المنازل التي تحركتها الفاصلة.
3. اكتب العدد مضروباً في 10 مرفوعة لأس يساوي عدد المنازل (يكون الأس موجباً إذا تحركت لليسار، وسالباً إذا تحركت لليمين).

---

الفصل الثاني: الأعداد الحقيقية ونظرية فيثاغورس

(2-1) الجذور التربيعية

إذا كان أ² = ب فإن جذر(ب) = أ

• جذر(25) = 5
• جذر(36) = 6
• -جذر(4) = -2
• ±جذر(9) = ±3

قواعد الجذور

• جذر(أ/ب) = جذر(أ) / جذر(ب)
• (جذر(أ))² = أ

حل المعادلات باستعمال الجذر التربيعي

س² = 169

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

س = ±جذر(169)

س = ±13

---

(2-2) تقدير الجذور التربيعية

بعض الجذور قيمتها كسور عشرية غير منتهية، وللحصول على قيمة مقربة نحدد أقرب مربعات كاملة للعدد.

مثال: تقدير جذر(17)

الأعداد المربعة المحيطة بالعدد 17 هي 16 و 25.

بما أن 17 أقرب إلى 16 من 25، فإن جذر(17) ≈ جذر(16) = 4.

---

(2-3) استراتيجية حل المسألة: استعمال أشكال فن

المسألة: عالج طبيب بيطري 20 خروفاً، و 16 بقرة، و 11 جملاً في أسبوع واحد. وكان بعض الأشخاص لديهم أكثر من نوع واحد من الحيوانات كما هو موضح بالجدول:

الحيوانات	الملاكين	خروف وغيره	خروف وجمل	بقرة وجمل	الجميع
العدد	…	7	5	3	2

فما عدد الملاكين للخراف فقط؟

الخطوات

• افهم: نعلم أعداد الحيوانات التي يعالجها الطبيب وأعداد المالكين لأكثر من نوع.
• خطط: نُصنف الأعداد باستعمال أشكال فن.
• حل:
  • الخراف = 20 – 7 – 2 – 5 = 6
  • الجمال = 11 – 5 – 2 – 3 = 1
  • البقر = 16 – 7 – 2 – 3 = 4

  مالكي الخراف فقط = 6 أشخاص.

• تحقق: تحقق من الرسم لتتأكد من مطابقة الإجمالي مع المعطيات.

---

(2-4) الأعداد الحقيقية

تصنيف الأعداد الحقيقية

• أعداد نسبية:
  • يمكن كتابتها على صورة أ/ب.
  • كسور عشرية منتهية (مثل 1.25) أو كسور عشرية دورية (مثل 1.333…).
• أعداد غير نسبية:
  • لا يمكن كتابتها على صورة أ/ب.
  • كسور عشرية غير منتهية وغير دورية (مثل جذر(2) = 1.414213…).

خصائص الأعداد الحقيقية

• الإبدال: أ + ب = ب + أ
• التجميع: (أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ)
• التوزيع: أ(ب + جـ) = أ ب + أ جـ
• العنصر المحايد: الجمعي (0)، الضرب (1)
• النظير الجمعي: أ + (-أ) = 0
• النظير الضربي: (أ/ب) × (ب/أ) = 1

---

(2-5) نظرية فيثاغورس

في المثلث قائم الزاوية:

جـ² = أ² + ب² (حيث جـ هو الوتر، أ وب هما الساقين)

حالات حساب الأضلاع المجهولة

• إيجاد الوتر: جـ = جذر(أ² + ب²)
• إيجاد الساق أ: أ = جذر(جـ² – ب²)
• إيجاد الساق ب: ب = جذر(جـ² – أ²)

عكس نظرية فيثاغورس

لتحديد ما إذا كان المثلث بأطوال الأضلاع (3، 4، 5) قائم الزاوية أم لا:

1. نأخذ الضلع الأكبر ونربعه: 5² = 25
2. نربع باقي الأضلاع ونجمعها: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
3. بما أن مربع الضلع الأكبر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين (25 = 25)، فإن المثلث قائم الزاوية.

---

(2-6) تطبيقات على نظرية فيثاغورس

مسألة 1 (ارتفاع الخيمة):

خيمة طول وترها جـ = 5 أقدام ونصف قاعدة المثلث ب = 3 أقدام. ما ارتفاع الخيمة (أ)؟

أ² = جـ² – ب²

أ² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

أ = جذر(16) = 4 أقدام.

مسألة 2 (بعد الطائر عن الولد):

ارتفاع الطائر 20 قدماً والمسافة الأفقية 70 قدماً. أوجد المسافة المباشرة (الوتر س):

س² = 70² + 20² = 4900 + 400 = 5300

س = جذر(5300) ≈ 72.80 قدماً.

---

(2-7) هندسة: الأبعاد في المستوى الإحداثي

إحداثيات نقطة (س ، ص)

• نقطة الأصل: (0 ، 0) هي نقطة تقاطع المحورين.
• الربع الأول: (+س ، +ص)
• الربع الثاني: (-س ، +ص)
• الربع الثالث: (-س ، -ص)
• الربع الرابع: (+س ، -ص)

إيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي

1. نرسم خطاً يصل بين النقطتين.
2. نرسم خطاً أفقياً وآخر رأسياً ليشكلوا مثلثاً قائم الزاوية.
3. نحسب عدد الوحدات للضلع الأفق والضلع الرأسي.
4. نوجد المسافة (الوتر جـ) باستعمال قانون نظرية فيثاغورس: جـ² = أ² + ب².

---

الفصل الثالث: التناسب والتشابه

(3-1) العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة

• العلاقات المتناسبة: النسب بين الكميات تكون ثابتة ولا تتغير.
• العلاقات غير المتناسبة: النسب بين الكميات تكون غير ثابتة ومختلفة.

مثال

عدد فناجين السكر مقارنة بعدد أكواب الماء:

1/4 = 0.25

1.5/6 = 0.25

2/8 = 0.25

بما أن النسب متساوية وثابتة، فالكميات متناسبة.

---

(3-2) معدل التغير

معدل التغير = (التغير في الكمية الثانية) / (التغير في الكمية الأولى)

تغير القيمة = القيمة الثانية – القيمة التي تسبقها

أنواع معدل التغير

• موجب: زيادة في القيم.
• سالب: نقصان في القيم.
• صفري: لا يوجد تغير.

---

(3-3) المعدل الثابت للتغير

إذا كان معدل التغير ثابتاً بين أي نقطتين، فإن العلاقة تكون خطية.

معدل التغير = التغير في ص / التغير في س

---

(3-4) حل التناسب

التناسب هو معادلة تتساوى فيها نسبتان: (أ / ب) = (جـ / د)

الضرب التبادلي

أ × د = ب × جـ

مثال مسألة: دفع حازم 10.95 ريالاً ثمن درزن (12) أقلام. أوجد ثمن 4 أقلام.

10.95 / 12 = س / 4

12 × س = 10.95 × 4

12س = 43.8

س = 3.65 ريالاً.

---

(3-5) استراتيجية حل المسألة: الرسم

المسألة: حوض سعته 500 لتر، يصب فيه الماء بمقدار 80 لتراً كل 6 دقائق. ما عدد الدقائق اللازمة لملء الحوض؟

الخطوات

• افهم: سعة الحوض 500 لتر، معدل التدفق 80 لتراً لكل 6 دقائق.
• خطط: نستخدم استراتيجية الرسم لتوضيح سريان الماء داخل الحوض حتى يمتلئ.
• حل: ننشئ محورين (الزمن والليترات):

  د = (500 × 6) / 80 = 37.5 دقيقة.

• تحقق: تحقق من الإجابة بالتأكد من الرسم البياني والمعدل.

---

(3-6) تشابه المضلعات

يكون المضلعان متشابهين إذا كانت:

1. الزوايا المتناظرة متطابقة.
2. الأضلاع المتناظرة متناسبة.

رمز التشابه: ( ~ )

عبارة التشابه: المثلث أ ب جـ ~ المثلث د هـ و

نسبة التشابه: (أ ب / د هـ) = (ب جـ / هـ و) = (أ جـ / د و)

---

(3-7) التكبير والتصغير (التمدد)

• تكبير: إذا كان معامل المقياس > 1
• تصغير: إذا كان معامل المقياس يتراوح بين 0 و 1
• الشكل نفسه (تطابق): إذا كان معامل المقياس = 1

التمثيل البياني للتمدد

لإيجاد صورة نقطة جـ(س ، ص) بتمدد عامله ك، تضرب الإحداثيات في ك: جـ'(ك × س ، ك × ص)

---

(3-8) القياس غير المباشر

حساب أطوال مجهولة باستخدام التناسب بين أضلاع المضلعات المتشابهة.

مثال: ما ارتفاع العلم (ع) إذا كان طول ظله 7 م، وطول رجل 2 م وظله 3 م؟

ع / 2 = 7 / 3

3 × ع = 2 × 7

ع = 14 / 3 = 4.67 م.

---

الفصل الرابع: النسبة المئوية

(4-1) إيجاد النسب المئوية ذهنياً

جدول كسور شائعة ومكافئاتها المئوية

النسبة المئوية	الكسر الاعتيادي
25%	1/4
50%	1/2
75%	3/4
20%	1/5
10%	1/10
16 و2/3%	1/6
12 و1/2%	1/8

---

(4-3) استراتيجية حل المسألة: التحقق من معقولية الإجابة

المسألة: تصنع ليان قلادة باستعمال نمط من الخرز (أزرق، أخضر، أبيض). إذا كان إجمالي الخرز 8 وعدد الخرزات البيضاء 2، فما النسبة المئوية للخرز الأبيض؟

الحل:

النسبة = الجزء / الكل = 2 / 8 = 1 / 4 = 25%.

---

(4-5) التغير المئوي

التغير المئوي = (مقدار التغير) / (الكمية الأصلية)

• الزيادة المئوية: (الكمية الجديدة – الكمية الأصلية) / الكمية الأصلية
• النقصان المئوي: (الكمية الأصلية – الكمية الجديدة) / الكمية الأصلية

الربح والخصم

• مقدار الربح أو الخصم = النسبة المئوية × السعر الأصلي
• ثمن البيع في حالة الربح = السعر الأصلي + مقدار الربح
• ثمن البيع في حالة الخصم = السعر الأصلي – مقدار الخصم

---

الفصل الخامس: الهندسة والاستدلال المكاني

(5-1) علاقات الزوايا والمستقيمات

• الزاويتان المتقابلتان بالرأس: متطابقتان في القياس.
• الزاويتان المتتامتان: مجموع قياسهما = 90°.
• الزاويتان المتكاملتان: مجموع قياسهما = 180°.

عند قطع مستقيمين متوازيين بمستقيم ثالث

• الزوايا المتبادلة داخلياً متطابقة.
• الزوايا المتبادلة خارجياً متطابقة.
• الزوايا المتناظرة متطابقة.

---

(5-2) استراتيجية حل المسألة: التبرير المنطقي

المسألة: يقدم فريق كشافة تشكيلاً بحيث يقف طالب في الصف الأول، ويزيد طالبان في كل صف جديد. إذا كان إجمالي الفريق 25 طالباً، فكم صفاً تم تشكيله؟

الحل:

• الصف الأول = 1
• الصف الثاني = 3
• الصف الثالث = 5
• الصف الرابع = 7
• الصف الخامس = 9

المجموع = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 طالباً.

عدد الصفوف = 5 صفوف.

---

(5-3) المضلعات والزوايا

• مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه ن:

  جـ = (ن – 2) × 180°

• قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم:

  س = [(ن – 2) × 180°] / ن

---

(5-4) تطابق المضلعات

تتطابق المضلعات إذا كانت الأضلاع المتناظرة متطابقة والزوايا المتناظرة متطابقة.

رمز التطابق: ( ≅ )

---

(5-5) التماثل

• التماثل حول محور: يكون للشكل تماثل محوري إذا أمكن طيه فوق خط مستقيم ليقسمه إلى نصفين متطابقين.
• التماثل الدوراني: يدوّر الشكل بزاوية أقل من 360° حول مركزه ليصبح مطاباقاً للوضع الأصلي.

  زاوية الدوران = 360° / عدد محاور التماثل.

---

(5-6) الانعكاس

تحويل هندسي يقلب الشكل حول محور الانعكاس.

• الانعكاس حول محور السينات: (س ، ص) ← (س ، -ص)
• الانعكاس حول محور الصادات: (س ، ص) ← (-س ، ص)

---

(5-7) الانسحاب

انتقال الشكل من موقع إلى آخر دون تدبيره.

• حركة ن وحدة لليمين: (س + ن ، ص)
• حركة ن وحدة لليسار: (س – ن ، ص)
• حركة م وحدة لأعلى: (س ، ص + م)
• حركة م وحدة لأسفل: (س ، ص – م)