حل الفصل الرابع النسبة المئوية رياضيات ثاني متوسط ف1 1448

الفصل 4: النسبة المئوية

تضمين حلول وافية لكافة التمارين، والمسائل، والأنشطة الواردة في كتاب الرياضيات للصف الثاني المتوسط – الفصل الدراسي الأول.

---

التهيئة

حساب الناتج:

1. 303 × (1/3)

تعني ثلث الـ 303

303 × (1/3) = 101

2. 644 × (1/2)

تعني نصف الـ 644

644 × (1/2) = 322

3. 0.1 × 550

تعني عشر الـ 550

0.1 × 550 = 55

4. 64 × 0.5

تعني نصف الـ 64

64 × 0.5 = 32

---

اكتب كل كسر اعتياادي على صورة كسر عشري:

5. 2/5

لتويل 2/5 إلى كسر عشري اقسم 2 ÷ 5

2 ÷ 5 = 0.4

لذا 2/5 = 0.4

6. 7/8

لتويل 7/8 إلى كسر عشري اقسم 7 ÷ 8

7 ÷ 8 = 0.875

لذا 7/8 = 0.875

7. 3/4

تحويل 3/4 إلى كسر عشري اقسم 3 ÷ 4

3 ÷ 4 = 0.75

لذا 3/4 = 0.75

8. 3/8

تحويل 3/8 إلى كسر عشري اقسم 3 ÷ 8

3 ÷ 8 = 0.375

لذا 3/8 = 0.375

9. اختبارات: من 20 سؤالاً، أجاب نواف عن 18 سؤالاً إجابة صحيحة. اكتب درجته على صورة كسر عشري.

درجة نواف: 18 / 20

لتويل 18/20 إلى كسر عشري اقسم 18 ÷ 20

18 ÷ 20 = 0.9

لذا 18 / 20 = 0.9

---

حل المعادلة أو التناسب فيما يأتي:

10. 0.25 د = 130

اكتب التناسب: 0.25 / 100 = د / 130

اضرب ضرباً تبادلياً: 25 × د = 1 × 130 × 100

بسط: 25 د = 13000

اقسم كل طرف على 25: (25 د / 25) = (13000 / 25)

بسط: د = 520

11. 48 ر = 12

اقسم الطرفين على 48: (48 ر / 48) = (12 / 48)

ر = 0.25

12. 0.4 م = 22

اكتب التناسب: 4 م / 10 = 22 / 1

اضرب ضرباً تبادلياً: 4 م × 1 = 22 × 10

بسط: 4 م = 220

اقسم كل طرف على 4: (4 م / 4) = (220 / 4)

بسط: م = 55

13. 0.02 ن = 9

اكتب التناسب: 2 ن / 100 = 9 / 1

اضرب ضرباً تبادلياً: 2 ن × 1 = 9 × 100

بسط: 2 ن = 900

اقسم كل طرف على 2: (2 ن / 2) = (900 / 2)

بسط: ن = 450

14. س / 10 = 3 / 5

اكتب التناسب: س / 10 = 3 / 5

اضرب ضرباً تبادلياً: س × 5 = 3 × 10

بسط: 5 س = 30

اقسم كل طرف على 5: (5 س / 5) = (30 / 5)

بسط: س = 6

15. 4 / 9 = 14 / ب

اكتب التناسب: 4 / 9 = 14 / ب

اضرب ضرباً تبادلياً: 4 × ب = 14 × 9

بسط: 4 ب = 126

اقسم كل طرف على 4: (4 ب / 4) = (126 / 4)

بسط: ب = 31.5

16. مقادير: يتطلب تحضير درزنين من كعكات الشوكولاتة بيضتين. ما عدد البيض اللازم لصنع 72 كعكة؟

72 ÷ 24 = 3 مجموعات كل مجموعة تحوي درزنين من الكعكات.

3 × 2 بيضة = 6 بيضات.

---

الدرس 4-1: إيجاد النسب المئوية ذهنياً

استعد

كتب: تحتوي مكتبة على مجموعة متنوعة من الكتب كما هو مبين في الجدول المجاور.

1. إذا كان تاريخ إصدار 75% من الكتب الدينية بعد عام 1435 هـ، فكيف يمكنك إيجاد 75% من 120 ذهنياً؟

يمكن إيجاد عدد الكتب بضرب الكسر الاعتيادي المكافئ لـ 75% × العدد الكلي للكتب الدينية، أي أحسب (3/4) من 120.

2. استعمل الرياضيات الذهنية لإيجاد عدد الكتب الدينية الصادرة بعد عام 1435 هـ:

75% من 120 = (3/4) × 120 = 90 كتاباً.

3. إذا كان 25% من المخطوطات أصلية (غير مصورة)، فاستعمل الرياضيات الذهنية لإيجاد عدد المخطوطات الأصلية:

25% من 8 = (1/4) × 8 = 2 مخطوطة.

---

تحقق من فهمك

احسب ذهنياً:

أ) 25% من 32

25% من 32 = (1/4) × 32 = 8

ب) 12.5% من 160

12.5% من 160 = (1/8) × 160 = 20

جـ) 80% من 45

80% من 45 = (4/5) × 45 = 36

د) 10% من 65

10% من 65 = 0.1 × 65 = 6.5

هـ) 1% من 450

1% من 450 = 0.01 × 450 = 4.5

و) 3% من 22

3% من 22 = 0.03 × 22 = 0.66

ز) قماش: باع صاحب محل للأقمشة 20% من 15.50 متراً من هذا النوع، فما عدد الأمتار المبيعة؟

20% من 15.50 = 0.2 × 15.50 = 3.1 متراً.

---

تأكد

احسب ذهنياً:

1. 50% من 120

50% من 120 = (1/2) × 120 = 60

2. 33.33% من 60

33.33% من 60 = (1/3) × 60 = 20

3. 37.5% من 72

37.5% من 72 = (3/8) × 72 = 27

4. 1% من 52

1% من 52 = 0.01 × 52 = 0.52

5. 10% من 350

10% من 350 = 0.1 × 350 = 35

6. 2% من 630

2% من 630 = 0.02 × 630 = 12.6

7. كتب: يحصل مؤلف على 25% من إجمالي مبيعات كتابه، إذا كان المبلغ الإجمالي للمبيعات يساوي 168000 ريال، فما المبلغ الذي يحصل عليه؟

25% من 168000 = (1/4) × 168000 = 42000 ريالاً.

---

تدرب وحل المسائل

احسب ذهنياً:

8. 25% من 44 = (1/4) × 44 = 11

9. 16.67% من 54 = (1/6) × 54 = 9

10. 40% من 35 = 0.4 × 35 = 14

11. 62.5% من 160 = (5/8) × 160 = 100

12. 10% من 57 = 0.1 × 57 = 5.7

13. 1% من 28.3 = 0.01 × 28.3 = 0.283

14. 3% من 130 = 0.03 × 130 = 3.9

15. 10% من 17.1 = 0.1 × 17.1 = 1.71

16. 7% من 210 = 0.07 × 210 = 14.7

17. زكاة: إذا كانت النسبة المئوية للزكاة المستحقة على المال هي 2.5%، فما مقدار الزكاة التي يدفعها شخص عن مبلغ 120000 ريال مضى عليه حول كامل؟

2.5% من 120000 = 0.025 × 120000 = 3000 ريال.

18. سفر: إذا كان 10% من رحلات السياحة في أحد البلدان تتضمن زيارة متحف، وكان عدد الرحلات جميعها 920 رحلة، فما عدد الرحلات التي تتضمن زيارة متحف؟

10% من 920 = 0.1 × 920 = 92 رحلة.

ضع إشارة > أو < أو = في الدائرة لتكون كل عبارة مما يأتي صحيحة:

19. 66.67% من 18 مقابل 60% من 15

66.67% من 18 = (2/3) × 18 = 12

60% من 15 = 0.6 × 15 = 9

إذن 66.67% من 18 > 60% من 15

20. 1% من 150 مقابل 10% من 15

1% من 150 = 0.01 × 150 = 1.5

10% من 15 = 0.1 × 15 = 1.5

إذن 1% من 150 = 10% من 15

21. قياس: يعتبر نهر الأمازون ثاني أطول نهر في العالم، ويبلغ طوله 4000 ميل تقريباً، إذا كان أطول نهر في العالم هو النيل، ويعادل طوله 104% من طول الأمازون، فما طول نهر النيل؟

104% من 4000 = 1.04 × 4000 = 4160 ميلاً.

سكان: للسؤالين 22، 23 استعمل المعلومات الآتية:

يعيش في إحدى القرى 10000 نسمة، مُثّل توزيع أعمارهم بالقطاعات الدائرية في الشكل المجاور.

22. كم عدد سكان القرية الذين لا تزيد أعمارهم عن 50 سنة؟

عدد السكان الذين لا تزيد أعمارهم عن 50 سنة = 30% + 60% = 90%

0.90 × 10000 = 9000 نسمة.

23. كم عدد سكان القرية الذين تقل أعمارهم عن 15 سنة؟

عدد السكان الذين تقل أعمارهم عن 15 سنة = 0.30 × 10000 = 3000 نسمة.

---

مسائل مهارات التفكير العليا

24. تحدٍّ: مجموع عددين صحيحين س، ص يساوي 90. إذا كان 20% من س يساوي 80% من ص، فأوجد العددين، وضح إجابتك.

س + ص = 90

20% من س = 80% من ص

0.2 س = 0.8 ص

اقسم الطرفين على 0.2: س = 4 ص

عوض عن س بـ 4 ص:

4 ص + ص = 90

5 ص = 90

اقسم الطرفين على 5: ص = 18

س = 90 – 18 = 72

س = 72

25. مسألة مفتوحة: أوجد عددين يمكنك حساب 66.67% من كل منهما ذهنياً، ووضح إجابتك.

66.67% = 2/3، فإنه يمكن حساب النسبة لأي عدد من مضاعفات 3 ذهنياً.

العددين: 15 ، 60

66.67% من 15 = (2/3) × 15 = 10

66.67% من 60 = (2/3) × 60 = 40

26. اكتشف الخطأ: يحاول ناصر وعلي حساب 10% من 95. أيهما على صواب؟ فسر ذلك.

علي؛ 10% من 95 = 0.1 × 95 = 9.5

27. اكتب: وضح كيف تحسب 75% من 40 ذهنياً.

75% = 3/4

(3/4) × 40 = 30

---

تدريب على اختبار

28. سافر الأصدقاء أحمد وسعد وعبدالرحمن في رحلة عمرة بالسيارة من الدمام إلى مكة المكرمة مسافة 1266 كيلو متراً، حيث قاد أحمد السيارة (1/3) المسافة، وقاد سعد 40% من المسافة، وقاد عبدالرحمن الجزء المتبقي من المسافة. ما أطول مسافة قادها أحدهم؟

أ) 337.6 كلم

ب) 422 كلم

جـ) 506.4 كلم

د) 759.6 كلم

الحل:

أحمد: 1266 × (1/3) = 422 كلم

1266 – 422 = 844 كلم

سعد: 844 × (40 / 100) = 337.6 كلم

844 – 337.6 = 506.4 كلم

عبدالرحمن: 506.4 كلم

عبدالرحمن قاد أطول مسافة.

الإجابة الصحيحة: (جـ) 506.4 كلم

29. زارت الهنوف متجراً، واشترت الأصناف في القائمة أدناه، كم ريالاً ستوفر الهنوف إذا جرى تخفيض 20% على السعر الأصلي لكل صنف منها؟

الصنف	قميص	تنورة	ربطة شعر	حذاء	المجموع
السعر الأصلي (ريال)	25	42	16	47	130
السعر بعد التخفيض	20	33.6	12.8	37.6	104

الأسعار بعد التخفيض:

القميص: 25 – (0.20 × 25) = 20

التنورة: 42 – (0.20 × 42) = 33.6

ربطة الشعر: 16 – (0.20 × 16) = 12.8

الحذاء: 47 – (0.20 × 47) = 37.6

أ) 104 ريالات

ب) 72 ريالاً

جـ) 48 ريالاً

د) 26 ريالاً

الإجابة الصحيحة: (د) 26 ريالاً (حيث أن إجمالي التوفير = 130 – 104 = 26 ريالاً).

---

مراجعة تراكمية

30. قياس: يقطع الحلزون مسافة ميل واحد في 30 ساعة، وفقاً لهذا المعدل ما المسافة التي يقطعها الحلزون في اليوم الواحد؟

نفرض أن س المسافة التي يقطعها الحلزون في يوم واحد:

س / 24 = 1 / 30

س = 24 / 30 = 0.8 ميل.

مخططات: يبين الشكل المجاور مخطط بحيرة، إذا كان Δ أ د هـ ~ Δ أ ب جـ. استعمل هذه المعلومات في الإجابة عن الأسئلة 31 – 33:

31. أوجد قيمة س:

س / (س + 10) = 3 / 9

9 س = 3 س + 30

طرح 3 س من الطرفين:

6 س = 30

بقسمة الطرفين على 6:

س = 5 كلم

32. أوجد قيمة ص:

جـ² = أ² + ب² (فيثاغورس)

أ² = جـ² – ب²

ص = √(25 – 9) = √16 = 4 كلم

33. أوجد قيمة ع:

4 / ع = 3 / 9

ع = (4 × 9) / 3 = 12 كلم

الاستعداد للدرس اللاحق – مهارة سابقة: أوجد الناتج:

34. (1/2) × 30 = 15

35. (3/4) × 32 = 24

36. (3/5) × 45 = 27

---

الدرس 4-2: النسبة المئوية والتقدير

استعد

كواكب: تُقدّر المسافة بين الأرض وبين الشمس بـ 19% من المسافة بين المشترى وبين الشمس.

1. قَدّر المسافة بين المشترى وبين الشمس إلى أقرب مئة مليون كيلومتر:

المسافة بين المشترى والشمس = 778330300 ≈ 800000000 كيلو متر.

2. قَدّر 19% إلى أقرب نسبة مئوية عشرية (من مضاعفات عشرة):

19% ≈ 20% تقريباً.

3. استعمل الرياضيات الذهنية لتقدير المسافة بين الأرض وبين الشمس:

19% من 778330300 ≈ 0.20 × 800000000 ≈ 160000000

---

تحقق من فهمك

قَدّر ما يأتي، وفسر إجابتك:

أ) 24% من 44

24% ≈ 25% تقريباً.

25% من 44 = 0.25 × 44 = 11

لذا 24% من 44 ≈ 11 تقريباً.

ب) 40% من 49

49 ≈ 50

40% من 50 = 0.4 × 50 = 20

لذا 40% من 49 ≈ 20 تقريباً.

جـ) 13% من 65

13% ≈ 12.5% تقريباً.

65 ≈ 64 تقريباً.

12.5% من 64 = (1/8) × 64 = 8

لذا 13% من 65 ≈ 8 تقريباً.

د) نفط: إذا علمت أن الكويت تمتلك 8% من احتياطيات النفط العالمية، فاحسب حصة الكويت من هذا الاحتياطي.

تبلغ حصة الكويت 92.88 مليار برميل تقريباً.

قَدّر النسبة المئوية لما يلي، وفسر إجابتك:

هـ) 7 من 57

7 / 57 ≈ 7 / 56 حيث 7 / 56 = 1 / 8

1 / 8 = 12.5%

لذا 7 من 57 يساوي تقريباً 12.5%.

و) 9 من 25

9 / 25 ≈ 10 / 25 = 2 / 5 = 40%

لذا 9 من 25 يساوي تقريباً 40%.

ز) 7 من 79

7 / 79 ≈ 8 / 80 حيث 8 / 80 = 1 / 10

1 / 10 = 10%

لذا 7 من 79 يساوي تقريباً 10%.

---

تأكد

قَدّر:

1. 49% من 160

49% ≈ 50%

50% من 160 = (1/2) × 160 = 80

إذن 49% من 160 ≈ 80.

2. 66.67% من 20

20 ≈ 21

66.67% من 21 = (2/3) × 21 = 14

إذن 66.67% من 20 ≈ 14.

3. 73% من 65

73% ≈ 75%، 65 ≈ 64

75% من 64 = (3/4) × 64 = 48

إذن 73% من 65 ≈ 48.

4. 41% من 39

41% من 39 ≈ 0.40 × 40 = 16

5. مدرسة: بينت نتائج دراسة مسحية أن مادة الرياضيات هي المادة المفضلة لدى 28% من الطلاب تقريباً. قَدّر عدد الطلاب الذين يعتبرون الرياضيات مادتهم المفضلة في فصل مكون من 30 طالباً.

28% من 30

28% ≈ 30%

30% من 30 = 0.3 × 30 = 9

إذن 28% من 30 ≈ 9.

قَدّر النسبة المئوية لكل مما يلي:

6. 6 من 35

6 / 35 ≈ 7 / 35 حيث 7 / 35 = 1 / 5 = 20%

لذا 6 من 35 تساوي تقريباً 20%.

7. 8 من 79

8 / 79 ≈ 8 / 80 حيث 8 / 80 = 1 / 10 = 10%

لذا 8 من 79 تساوي تقريباً 10%.

8. 14 من 19

14 / 19 ≈ 15 / 20 حيث 15 / 20 = 3 / 4 = 75%

لذا 14 من 19 تساوي تقريباً 75%.

9. 33 من 98

33 / 98 ≈ 30 / 90 = 1 / 3 = 33.33%

---

تدرب وحل المسائل

قَدّر:

10. 29% من 50

29% ≈ 30%

30% من 50 = 0.3 × 50 = 15

إذن 29% من 50 تساوي تقريباً 15.

11. 67% من 93

67% ≈ 66.67% = 2/3

(2/3) × 93 = 62

إذن 76% من 93 تساوي تقريباً 62.

12. 21% من 71

21% ≈ 20% = 1/5 ، 71 ≈ 70

(1/5) × 70 = 14

إذن 21% من 71 تساوي تقريباً 14.

13. 92% من 41

92% ≈ 90% = 0.9 ، 41 ≈ 40

0.9 × 40 = 36

إذن 92% من 41 تساوي تقريباً 36.

قَدّر النسبة المئوية لكل مما يلي:

14. 7 من 29

7 / 29 ≈ 7 / 28 = 1 / 4 = 25%

إذن 7/29 تساوي تقريباً 25%.

15. 9 من 55

9 / 55 ≈ 9 / 54 = 1 / 6 = 16.67%

إذن 9/55 تساوي تقريباً 16.67%.

16. 2 من 15

2 / 15 ≈ 3 / 15 = 1 / 5 = 20%

إذن 2/15 تساوي تقريباً 20%.

17. 7 من 11

7 / 11 ≈ 8 / 12 = 2 / 3 = 66.67%

إذن 7/11 تساوي تقريباً 66.67%.

18. قياس: يبلغ طول جسم بالبوصة 39% تقريباً من طوله بالسنتيمتر. قَدّر طوله بالبوصة إذا كان طوله بالسنتيمتر يساوي 50 سم.

39% ≈ 40%

40% من 50 = 0.4 × 50 = 20

إذن 39% من 50 تساوي تقريباً 20 بوصة.

19. تحليل جدول: قَدّر النسبة المئوية لعدد المواطنين في كل فئة عمرية بالنسبة إلى الإجمالي، ثم حدد الفئة الأعلى من حيث النسبة.

الرياض: 5254560 / 6777146 ≈ 5000000 / 7000000 = 5 / 7 ≈ 71%

مكة المكرمة: 1675368 / 6915006 ≈ 2000000 / 7000000 = 2 / 7 ≈ 29%

المدينة المنورة: 1180770 / 1777933 ≈ 1000000 / 2000000 = 1 / 2 = 50%

قَدّر:

20. 26.5% من 123

26.5% ≈ 25% ، 123 ≈ 124

25% من 124 = 0.25 × 124 = 31

إذن 26.5% من 123 تساوي تقريباً 31.

21. 124% من 41

124% ≈ 125% ، 41 ≈ 40

125% من 40 = 1.25 × 40 = 50

إذن 124% من 41 تساوي تقريباً 50.

22. 249% من 119

249 ≈ 250 ، 119 ≈ 120

250% من 120 = 2.5 × 120 = 300

لذا 249% من 120 تساوي تقريباً 300.

23. 167% من 60

167% من 60 = (167 / 100) × 60 = 100.2

---

مسائل مهارات التفكير العليا

24. الحس العددي: استعمل الحساب الذهني لتحديد أيهما أكبر: 24% من 480 أم 51% من 240؟ فسر إجابتك.

24% ≈ 25%

25% من 480 = 0.25 × 480 = 120

51% ≈ 50%

50% من 240 = 0.5 × 240 = 120

إذن 24% من 480 تساوي تقريباً 51% من 240.

تحدٍّ: هل العبارات الآتية صحيحة دائماً، أم أحياناً، أم غير صحيحة أبداً؟ فسر إجابتك.

25. إذا تم تقريب كل من العدد والنسبة المئوية إلى العدد الأكبر، فسيكون التقدير أكبر من الإجابة الحقيقية.

العبارة صحيحة دائماً؛ لأنه استعمل في التقدير أعداد أكبر من الأعداد الفعلية.

26. إذا تم تقريب النسبة المئوية إلى النسبة الأكبر، وتقريب العدد إلى العدد الأصغر، فسيكون التقدير أكبر من الإجابة الحقيقية.

العبارة صحيحة أحياناً؛ هذا يعتمد على كل قيمة تم تقريبها.

27. اكتب: وضح كيف تحسب 75% من 40 ذهنياً.

75% = 3/4

(3/4) × 40 = 30

اكتب مسألة من واقع الحياة تتضمن تقدير النسبة المئوية، يمكن حلها باستخدام الكسور والأعداد المتناغمة، ثم حلها:

يريد محمد أن يترك 18% إكرامية بعد دفع فاتورة المطعم 33.97 ريال. كم سيترك إكرامية؟

الحل:

18% ≈ 20% ، 33.97 ≈ 35

ما سيدفعه محمد إكرامية = 0.20 × 35 = 7 ريال.

---

تدريب على اختبار

28. بدأ فارس تحميل ملف حجمه 19.6 ميجابايت من الإنترنت، والشاشة أدناه تشير إلى أنه تم تحميل 15% من الملف، وقد قدّر فارس الجزء الذي تم تحميله بـ 3 ميجابايت.

أي العبارات الآتية تبين الطريقة التي استعملها فارس في تقدير الجزء الذي تم تحميله من الملف؟

أ) 15% من 19.6 ≈ 15% من 15

ب) 15% من 19.6 ≈ 10% من 20

جـ) 15% من 19.6 ≈ 20% من 20

د) 15% من 19.6 ≈ 15% من 20

الإجابة الصحيحة: (د) 15% من 19.6 ≈ 15% من 20

29. شارك 325 طالبًا في سباق جري، ووصل منهم 150 طالبًا فقط إلى خط النهاية، قدر النسبة المئوية للطلاب الذين وصلوا إلى خط النهاية.

أ) 40

ب) 45

جـ) 55

د) 60

150 / 325 = س / 100

س = (150 × 100) / 325 = 46.2

46.2 ≈ 45

الإجابة الصحيحة: (ب) 45

30. إجابة قصيرة: إذا كان معدل درجة حرارة الأرض حوالي 80% من معدل درجة حرارة كوكب الزهرة التي تبلغ 460 س°، فقدر معدل درجة حرارة الأرض.

درجة حرارة الأرض = 0.80 × 460 = 368 ≈ 370 س°

---

مراجعة تراكمية

31. سيارات: بعد قطع مسافة 242 كلم كان أبو محمد قد استعمل 20 لترًا من الوقود، ثم قطع مسافة 158 كلم أخرى استعمل فيها 12 لترًا. أوجد معدل تغير المسافة المقطوعة لكل لتر.

معدل التغير = (158 – 242) / (12 – 20) = -84 / -8 = 10.5 كلم لكل لتر.

32. زراعة: غرس عمار 280 شتلة أزهار، إذا نمت 75% منها، فاحسب ذهنياً عدد الشتلات التي نمت من بين ما غرسه عمار.

75% = 3/4

(3/4) × 280 = 210 شتلة.

33. رياضة: يرغب مدرس التربية البدنية في ترتيب الطلاب في أثناء أداء التمارين الرياضية على شكل مربع. إذا كان عدد طلاب الصف 25 طالبًا، فكم طالبًا يجب أن يكون في كل صف؟

المربع مكون من 4 أضلاع.

25 ÷ 5 = 5

يجب أن يكون 5 طلاب في كل صف.

34. سياحة: لدى شركة سياحة 15 حافلة تقوم بـ 120 رحلة أسبوعياً، إذا توقعت الشركة أن يزيد عملها خلال الصيف بمقدار 40 رحلة أسبوعياً، فكم حافلة إضافية يلزمها لذلك؟

120 / 15 = 160 / س

س = (15 × 160) / 120 = 20

إذن يلزمها 5 حافلات إضافية.

هندسة: مثل كل زوج مرتب مما يأتي، ثم احسب المسافة بين كل نقطتين إلى أقرب عشر إذا لزم ذلك:

35. (1 ، 4) ، (6 ، -3)

جـ² = أ² + ب² (فيثاغورس)

المسافة = √(25 + 49) = √74 ≈ 8.6

36. (-1 ، 5) ، (3 ، -2)

جـ² = أ² + ب² (فيثاغورس)

المسافة = √(16 + 49) = √65 ≈ 8.1

37. (-5 ، -2) ، (-1 ، 0)

جـ² = أ² + ب² (فيثاغورس)

المسافة = √(16 + 4) = √20 ≈ 4.5

38. (-2 ، -3) ، (1 ، 3)

جـ² = أ² + ب² (فيثاغورس)

المسافة = √(16 + 25) = √41 ≈ 6.4

39. الاستعداد للدرس اللاحق – مهارة سابقة: ارسم الأشكال الثلاثة التالية في النمط الآتي:

الحل: يتم استكمال رسم المستطيلات المجزأة وفق التتابع الموضح بالنمط المتكرر.

---

الدرس 4-3: استراتيجية حل المسألة (التحقق من معقولية الإجابة)

استعد

التحقق من معقولية الإجابة:

ريان: وفر أخي مبلغ 1550 ريالاً، ويريد أن يتبرع بـ 40% منه عبر إحدى المنصات الرسمية للتبرع في شهر رمضان، ويدخر الباقي منه لمصاريف العيد. أظن أخي سيتبرع بـ 800 ريال في شهر رمضان.

مهمتك: هل من المعقول أن يبلغ تبرع أخيها 800 ريال؟

• افهم: تعلم المبلغ الذي وفره أخوها والمطلوب معرفة هل من المعقول أن تبلغ قيمة التبرع 800 ريال على الأقل.
• خطط: استعمل الحساب الذهني للتحقق من معقولية الإجابة.
• حل: 40% قريبة من 50% = 1/2 ، (1/2) × 1550 = 775 ريالاً. بما أن 40% أقل من 50% فالمبلغ الذي سيتم التبرع به يقل عن 775 ريالاً، إذن ليس من المعقول إن يتبرع بـ 800 ريال.
• تحقق: 40% من 1550 = 0.40 × 1550 = 620 ريالاً. إذن سيتبرع أخو ريان بـ 620 ريالاً وهذا يقل عن 800 ريال.

---

حل الاستراتيجية

1. وضح لماذا تعد استراتيجية التحقق من معقولية الإجابة مناسبة لحل المسألة السابقة؟

لأن الإجابة الدقيقة لم تكن مطلوبة.

2. اكتب: فسر لماذا تعد مهارات الحساب الذهني مهمة لإيجاد درجة معقولية الإجابة؟

قد تساعدك مهارات الرياضيات الذهنية في تقدير الحل.

---

مسائل متنوعة

استعمل استراتيجية “التحقق من معقولية الإجابة” لحل المسائل 3 – 5:

3. نقود: يرغب أيمن في شراء مجموعة من الكتب تكلف 129 ريالاً. إذا اشتراها في موسم التخفيضات بـ 75% من ثمنها الأصلي، هل يكون ثمن الشراء 30 أم 60 أم 90 ريالاً تقريباً؟ وضح إجابتك.

• افهم: المعطيات: يرغب أيمن في شراء مجموعة من الكتب تكلف 129 ريالاً، إذا اشتراها بـ 75% من ثمنها الأصلي. المطلوب: هل يكون ثمن الشراء 30 ريالاً، أم 60 ريالاً، أم 90 ريالاً.
• خطط: استعمل الرياضيات الذهنية لتحديد معقولية الإجابة.
• حل: ثمن الشراء 90 ريالاً تقريباً؛ لأن 30 ريال أقل من 50% من 129 و 60 ريال تساوي تقريباً 50% من 129. إذن ثمن البيع يجب أن يكون أكبر من 50%.
• تحقق: 129 × 75% = 96.75 ≈ 96 ريال. (64 + 32 = 96)

4. ملابس: مع عزام 350 ريالاً، ويريد أن يشتري مجموعة من الملابس، إذا كان سعر الثوب 154 ريالاً، وسعر الغترة 90 ريالاً، فهل يكفي المبلغ الذي يتبقى معه لشراء حذاء بمبلغ 126 ريالاً؟ وضح إجابتك.

• افهم: المعطيات: مع عزام 350 ريالاً، يريد أن يشتري مجموعة من الملابس، إذا كان سعر الثوب 154 ريالاً، وسعر الغترة 90 ريالاً. المطلوب: هل يكفي المبلغ الذي يتبقى معه لشراء حذاء بمبلغ 126 ريالاً؟
• خطط: استعمل الرياضيات الذهنية لتحديد معقولية الإجابة.
• حل: لا؛ 154 + 90 + 126 = 370 وهي أكبر من 350.
• تحقق: ثمن الثوب والغترة = 154 + 90 = 244 ريالاً. 350 – 244 = 106 ريالات، والباقي من المبلغ أقل من ثمن الحذاء 126 ريالاً.

5. أعمال: تقاضى بدر مبلغ 30 ريالاً عن كل ساعة عمل. إذا خطط لادخار مبلغ لشراء هاتف نقال ثمنه 1160 ريالاً، فهل تكفي 20 أو 30 أو 40 ساعة عمل لذلك؟ فسر إجابتك.

• افهم: المعطيات: يتقاضى بدر مبلغ 30 ريالاً عن كل ساعة عمل، فإذا خطط لادخار مبلغ لشراء هاتف نقال ثمنه 1160 ريالاً. المطلوب: هل تكفي 20 أو 30 أو 40 ساعة عمل لذلك؟
• خطط: استعمل الرياضيات الذهنية لتحديد معقولية الإجابة.
• حل: 40 × 30 = 1200 ريالاً، وهي كافية لشراء الهاتف النقال.
• تحقق: 30 × 30 = 900 ريالاً وهي أقل من 1100 ريال. 20 × 30 = 600 ريالاً وهي أقل من 1100 ريال.

6. نظرية الأعداد: ادرس النمط الآتي:

1 × 1 = 1

11 × 11 = 121

111 × 111 = 12321

1111 × 1111 = 1234321

أوجد الناتج: 1111111 × 1111111 دون إجراء عملية الضرب.

• افهم: المعطيات: جدول ضرب للرقم 1. المطلوب: أوجد 1111111 × 1111111 دون إجراء عملية ضرب.
• خطط: البحث عن نمط.
• حل: 1111111 × 1111111 = 1234567654321
• تحقق: استخدم الضرب العمودي.

7. حلي: تصنع ليان قلادة باستخدام نمط من الخرز الأزرق والأخضر والأبيض كما في الشكل أدناه. ما النسبة المئوية للخرزات البيضاء في القلادة؟

• افهم: المعطيات: قلادة لها نمط من الخرز الأزرق والأخضر والأبيض. المطلوب: ما النسبة المئوية للخرزات البيضاء في القلادة؟
• خطط: الرسم.
• حل: عدد الخرزات 8 وعدد الخرزات البيضاء 2. إذن النسبة المئوية للخرزات البيضاء في القلادة هي: 2 / 8 = 1 / 4 = 25%.
• تحقق: 2 = النسبة المئوية × 8. النسبة المئوية = 2 / 8 = 25%.

8. حفل: يخطط حسين للاحتفال بمناسبة اجتماعية أسرية، وقد كلفه استئجار المكان (1/2) المبلغ الذي معه، وكلفه التجهيز (1/4) ما تبقى من المبلغ، وبقي معه 750 ريالاً. ما المبلغ الذي كان معه؟

• افهم: المعطيات: كلفة استئجار المكان (1/2) المبلغ الذي كان معه، وكلفة التجهيز (1/4) ما تبقى من المبلغ، وبقي معه 750 ريالاً. المطلوب: ما المبلغ الذي كان معه؟
• خطط: الحل عكسياً.
• حل: المبلغ الذي كان معه = 2000 ريال.
• تحقق: 750 + 750 + 500 = 2000

9. سكان: يعيش 6.75% تقريباً من مواطني المملكة العربية السعودية في منطقة المدينة المنورة، إذا كان عدد المواطنين في المملكة في عام 1437 هـ هو 20000000 نسمة تقريباً، فما العدد التقريبي للمواطنين في منطقة المدينة المنورة؟

1350000 نسمة تقريباً.

10. رياضة: في دراسة مسحية أجاب 44% من الطلاب أنهم يمارسون الرياضة. إذا كان عدد الطلاب الذين تم سؤالهم 1532 طالبًا، فهل يعتبر 600 طالب أو 675 طالبًا أو 715 طالبًا تقديرًا معقولاً لعدد الطلاب الذين يمارسون الرياضة؟ فسر إجابتك.

• افهم: المعطيات: في دراسة مسحية أجاب 44% من الطلبة أنهم يمارسون الرياضة، وكان عدد الطلبة الذين تم سؤالهم 1532 طالبًا. المطلوب: هل يعتبر 600 طالب أو 675 طالبًا أو 715 طالبًا تقديرًا معقولاً لعدد الطلبة الذين يمارسون الرياضة؟
• خطط: استعمل الرياضيات الذهنية لتحديد معقولية الإجابة.
• حل: بما أن 44% أكبر قليلاً من 40% فإن 675 أكبر قليلاً من 600، إذن 675 طالبًا تعتبر تقديرًا معقولاً لعدد الطلبة الذين يمارسون الرياضة.
• تحقق: 44% × 1532 = 674، إذن 675 يعتبر تقديرًا معقولاً لعدد الطلبة الذين يمارسون الرياضة.

11. سيارات: يبين الجدول المجاور الألوان الخمسة الشائعة لإحدى السيارات. إذا تم إنتاج 1500 سيارة من هذا النوع في شهر، فما عدد السيارات غير البيضاء فيها؟

اللون	النسبة المئوية
أبيض	26%
فضي	16%
رمادي	13%
أسود	13%
أحمر	11%
غير ذلك	21%

1110 سيارات.

---

اختبار منتصف الفصل (الدروس 4-1 إلى 4-3)

احسب ذهنياً:

1. 25% من 64

25% = 1/4

(1/4) × 64 = 16

2. 3% من 600

3% من 600 = 0.03 × 600 = 18

3. 66.67% من 45

66.67% = 2/3

(2/3) × 45 = 30

4. 1% من 58.5

1% من 58.5 = 0.01 × 58.5 = 0.585

5. اختيار من متعدد: في كيس 192 كرة ملونة، 33.33% منها لونها أحمر. ما عدد الكرات غير الحمراء؟

أ) 128

ب) 64

جـ) 60

د) 57

الحل:

33.33% = 1/3

عدد الكرات الحمراء = 192 ÷ 3 = 64

عدد الكرات غير الحمراء = 192 – 64 = 128 كرة.

الإجابة الصحيحة: (أ) 128

6. يحمل ثلاثة رجال صندوقاً كتلته 120 كجم. إذا كان على كل منهم أن يحمل 33.33% من كتلة الصندوق، فما الكتلة التي يجب أن يحملها كل رجل؟

33.33% = 1/3

120 ÷ 3 = 40 كجم.

كل رجل يحمل 40 كجم.

7. اختيار من متعدد: شركة لديها 600 موظف، يبين التمثيل بالقطاعات الدائرية النسبة المئوية للغة الأصلية التي يتكلمون بها. قَدّر عدد الموظفين الذين لغتهم الأصلية اللغة الإنجليزية.

أ) 30

ب) 90

جـ) 180

د) 210

الإجابة الصحيحة: (جـ) 180

8. مسابقات: اشترك 58% من طلاب مدرسة ما في مسابقة المدرسة الثقافية. إذا كان عدد طلاب المدرسة 400 طالب، فَقَدّر عدد الطلاب الذين اشتركوا في المسابقة المدرسة الثقافية؟

58% من 400 ≈ 240 طالبًا.

قَدّر:

9. 39% من 60

39% ≈ 40%

0.40 × 60 = 24

10. 66.67% من 80

66.67% = 2/3

(2/3) × 80 ≈ 54

11. 74% من 41

74% ≈ 75% = 3/4 ، 41 ≈ 40

0.75 × 40 = 30

12. 21% من 19

21% ≈ 20% ، 19 ≈ 20

0.20 × 20 = 4

13. كتب: تحتوي مكتبة مدرسية على مجموعة من الكتب كما يبين الجدول أدناه:

نوع الكتب	العدد
علمية	297
أدبية	163
دينية	217
عامة	84
أخرى	42

قَدّر النسبة المئوية لعدد الكتب من كل نوع بالنسبة إلى العدد الكلي للكتب في المكتبة:

عدد الكتب في المكتبة = 297 + 163 + 217 + 84 + 42 = 803 ≈ 800

الكتب العلمية: 297 ≈ 300 -> النسبة المئوية = (300 × 100) / 800 = 37.5%

الكتب الأدبية: 163 ≈ 160 -> النسبة المئوية = (160 × 100) / 800 = 20%

الكتب الدينية: 217 ≈ 220 -> النسبة المئوية = (220 × 100) / 800 = 27.5%

الكتب العامة: 84 ≈ 80 -> النسبة المئوية = (80 × 100) / 800 = 10%

أخرى: 42 ≈ 40 -> النسبة المئوية = (40 × 100) / 800 = 5%

14. تجارة: وضع نايف 150000 ريال في تجارة بلغت أرباحها 21000 ريال، وتوقع نايف أن نسبة أرباحه زادت على 25%، فهل هذا معقول؟ وضح إجابتك.

النسبة المئوية للربح = 21000 / 150000 = 14%

لا؛ غير معقول لم تزد على 25%.

25% تعني 1/4

(1/4) × 150000 = 37500 وهذا الرقم لا يساوي 21000.

15. سفر: سافرت نورة وأهلها من الرياض إلى لندن فانطلقت الطائرة الساعة 9:10 صباحاً على أن تصل لندن الساعة 3:15 مساءً. إذا نظرت نورة إلى ساعتها وقدرت أن المسافة التي قطعوها هي 63% من المسافة إلى لندن، فهل الوقت 11 صباحاً، أم 12 ظهراً، أم 1:00 بعد الظهر تقديرًا معقولاً للوقت الذي نظرت فيه نورة إلى ساعتها؟ فسر إجابتك.

يستغرق السفر تقريباً 6 ساعات.

63% ≈ 60%

0.60 × 6 = 3.6 ساعات ≈ 4 ساعات.

إذن أفضل تقدير الساعة 1:00 بعد الظهر.

---

الدرس 4-5: التغير المئوي

تدرب وحل المسائل

أوجد التغير المئوي فيما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب عشر إذا لزم ذلك. وبين إذا كان التغير المئوي زيادة أم نقصاناً:

1. الأصلي: 6 تذاكر ، الجديد: 9 تذاكر

مقدار التغير = 9 – 6 = 3

التغير المئوي = مقدار التغير / القيمة الأصلية = 3 / 6 = 1 / 2

النسبة المئوية = (1/2) × 100 = 50%

التغير يعبر عن زيادة مئوية.

2. الأصلي: 27 ضيفاً ، الجديد: 39 ضيفاً

مقدار التغير = 39 – 27 = 12

التغير المئوي = 12 / 27 ≈ 0.4444

النسبة المئوية = 0.4444 × 100 = 44.4%

التغير يعبر عن زيادة مئوية.