حل الفصل الثاني الاعداد الصحيحة رياضيات اول متوسط ف1 1448
عن حلول رياضيات
الفصل ٢: الأعداد الصحيحة
التهيئة
أجب عن الاختبار التالي:
ضع إشارة < أو > في الدائرة ليصبح كل مما يأتي جملة صحيحة:
١) ١٤٥٨ ، ١٥٤٨
نرتب العددين رأسياً ونقارن بينهما من اليسار إلى اليمين.
بما أن ٤ < ٥ ، إذاً ١٤٥٨ < ١٥٤٨
٢) ٣٤ ، ٣٦
نرتب العددين رأسياً ونقارن بينهما من اليسار إلى اليمين.
بما أن ٤ < ٦ ، إذاً ٣٤ < ٣٦
٣) ١,٠٢٣ ، ١,٢٠
نرتب العددين رأسياً ابتداءً من الفاصلة العشرية ونقارن بينهما من اليسار إلى اليمين.
بما أن ٠ < ٢ ، إذاً ١,٠٢٣ < ١,٢٠
٤) ٧٦,٧ ، ٧٧,٦
نرتب العددين رأسياً ابتداءً من الفاصلة العشرية ونقارن بينهما من اليسار إلى اليمين.
بما أن ٦ < ٧ ، إذاً ٧٦,٧ < ٧٧,٦
٥) نقود: يتقاضى ماهر في عمله ٦٥,٧٥ ريالاً عن كل يوم، بينما يتقاضى مازن ٦٥,٥ ريالاً. أيهما يتقاضى أكثر؟
٦٥,٧٥
٦٥,٥٠
نرتب العددين رأسياً ابتداءً من الفاصلة العشرية ونقارن بينهما من اليسار إلى اليمين.
بما أن ٧ > ٥ ، إذاً ٦٥,٧٥ > ٦٥,٥ وهذا معناه أن ماهر يتقاضى أكثر من مازن.
احسب قيمة كل عبارة فيما يأتي، إذا كانت أ = ٧، ب = ٢، جـ = ١١:
٦) أ + ٨
= ٧ + ٨ (نعوض عن أ بـ ٧)
= ١٥ (نجمع)
٧) أ + ب + جـ
= ٧ + ٢ + ١١ (نعوض عن أ بـ ٧ وعن ب بـ ٢ وعن جـ بـ ١١)
= ٢٠ (نجمع)
٨) جـ – ب
= ١١ – ٢ (نعوض عن جـ بـ ١١ وعن ب بـ ٢)
= ٩ (نطرح)
٩) أ – ب + ٤
= ٧ – ٢ + ٤ (نعوض عن أ بـ ٧ وعن ب بـ ٢)
= ٥ + ٤ (نطرح ٢ من ٧)
= ٩ (نجمع)
١٠) درجة الحرارة: بلغت درجة الحرارة في الساعة الثامنة صباحاً ١٦ °س، ثم ارتفعت ٩ درجات بعد الظهر. كم أصبحت درجة الحرارة بعد الظهر؟
١٦ + ٩ = ٢٥
إذاً أصبحت درجة الحرارة بعد الظهر = ٢٥ °س
احسب قيمة كل عبارة فيما يأتي، إذا كانت س = ٩، ص = ٤:
١١) ٦ س ص
= ٦ × ٩ × ٤ (نعوض عن س بـ ٩ وعن ص بـ ٤)
= ٥٤ × ٤ (نضرب ٦ × ٩)
= ٢١٦ (نضرب)
١٢) ص ÷ ٢ – ١
= ٤ ÷ ٢ – ١ (نعوض عن ص بـ ٤)
= ٢ – ١ (نقسم ٤ على ٢)
= ١ (نطرح)
١٣) ٣ س + ٥ ص
= ٣ × ٩ + ٥ × ٤ (نعوض عن س بـ ٩ وعن ص بـ ٤)
= ٩ + ٢٠ (نضرب ٥ في ٤)
= ٢٩ (نجمع)
١٤) س² ÷ (ص + ٥)
= ٩² ÷ (٤ + ٥) (نعوض عن س بـ ٩ وعن ص بـ ٤)
= ٩² ÷ ٩ (نحسب ٤ + ٥ لنفك القوس)
= ٨١ ÷ ٩ (نوجد قيمة ٩²)
= ٩ (نقسم)
١٥) طيران: تُعطى المسافة التي تقطعها طائرة في الزمن ن ساعة، وبسرعة ع كيلومتر لكل ساعة بالعلاقة التالية: ف = ع ن ، حيث ف المسافة بالكيلومتر. أوجد المسافة التي تقطعها طائرة خلال زمن قدره ٤ ساعات، وبسرعة ٤٧٥ كيلومتراً في الساعة.
ف = ع ن (نكتب المعادلة)
ف = ٤٧٥ × ٤ (نعوض عن ع بـ ٤٧٥ وعن ن بـ ٤)
ف = ١٩٠٠ (نضرب)
إذاً المسافة التي تقطعها الطائرة هي ١٩٠٠ كيلومتر.
الدرس ٢-١: الأعداد الصحيحة والقيمة المطلقة
استعد
إنشاءات هندسية: الأساسات هي القاعدة السفلى التي ترتكز عليها البناية. إذا صبت أساسات بناية على عمق ٥ أمتار دون مستوى الشارع فإن (-٥) تعني خمسة أمتار تحت مستوى الشارع.
ماذا تمثل القيمة -١٠؟
-١٠ تعني عشرة أمتار تحت مستوى الشارع.
إذا كان ارتفاع البناية ٢٠ متراً فوق مستوى الشارع، فكيف يمكنك تمثيل هذه القيمة؟
يمكن تمثيل القيمة بـ +٢٠ أو ٢٠.
تحقق من فهمك
اكتب عدداً صحيحاً لكل مما يأتي:
أ) ٦ درجات فوق الطبيعي.
بما أن ٦ درجات فوق الطبيعي فإن العدد الصحيح هو +٦ أو ٦.
ب) ٥ سم دون الطبيعي.
بما أن ٥ سم دون الطبيعي فإن العدد الصحيح هو -٥.
مثل كل مجموعة أعداد صحيحة مما يأتي بيانياً على خط الأعداد:
جـ) {-٢ ، ٨ ، -٧}
تمثيل النقاط على خط الأعداد عند القيم: -٧ ، -٢ ، ٨.
د) {-٤ ، ١٠ ، -٣ ، ٧}
تمثيل النقاط على خط الأعداد عند القيم: -٤ ، -٣ ، ٧ ، ١٠.
أوجد قيمة كل من العبارات الآتية:
هـ) |-٨|
النقطة -٨ على خط الأعداد تبعد ٨ وحدات عن الصفر.
إذاً |-٨| = ٨
و) |-٣| + ٢
|-٣| = ٣
= ٣ + ٢ (نجمع ٢ مع ٣)
= ٥
ز) |-٦| – ٥
|-٦| = ٦
= ٦ – ٥ (نطرح ٥ من ٦)
= ١
تأكد
اكتب عدداً صحيحاً لكل مما يأتي:
١) خسارة ٣ ريالات: -٣
٢) ٣ درجات مئوية تحت الصفر: -٣
٣) توفير بمقدار ١٦ ريالاً: +١٦ أو ١٦
٤) ٢٥٠ م فوق سطح البحر: +٢٥٠ أو ٢٥٠
٥) هندسة: صبت أساسات برج العرب بدبي على عمق ٤٠ متراً تحت قاع البحر، اكتب عدداً صحيحاً يمثل هذا العمق.
بما أن العمق ٤٠ متراً تحت قاع البحر فإن العدد الصحيح هو -٤٠.
مثل بيانياً كل مجموعة مما يأتي على خط الأعداد:
٦) {١١ ، -٥ ، -٨}
تمثيل النقاط على خط الأعداد عند القيم: -٨ ، -٥ ، ١١.
٧) {-٩ ، -١ ، ٦ ، ١}
تمثيل النقاط على خط الأعداد عند القيم: -٩ ، -١ ، ١ ، ٦.
أوجد قيمة كل عبارة فيما يأتي:
٨) |-٩| = ٩ (تبعد ٩ وحدات عن الصفر)
٩) ١ + |٧| = ١ + ٧ = ٨
١٠) |-١| + |-٦| = ١ + ٦ = ٧
تدرب وحل المسائل
اكتب عدداً صحيحاً لكل مما يأتي:
١١) مكسب ٩ ريالات: +٩ أو ٩
١٢) سحب بنكي بمقدار ١٠٠٠ ريال: -١٠٠٠
١٣) ١٣ °س تحت الصفر: -١٣
١٤) ٤٨ متراً فوق سطح البحر: +٤٨ أو ٤٨
١٥) مصعد يرتفع ١٧ طابقاً: +١٧ أو ١٧
١٦) لا ربح ولا خسارة في أول صفقة: ٠
١٧) تصل خسائر البلدان بسبب مشكلة تعاطي المخدرات إلى ٤٠ ملياراً: -٤٠
مثل بيانياً كل مجموعة مما يأتي على خط الأعداد:
١٨) {-٢ ، ١ ، ٠}
تمثيل النقاط عند: -٢ ، ٠ ، ١.
١٩) {-٥ ، -١ ، ١٠ ، -٩}
تمثيل النقاط عند: -٩ ، -٥ ، -١ ، ١٠.
أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:
٢٠) |١٠| = ١٠
٢١) |-١٢| = ١٢
٢٢) |-٧| – ٥ = ٧ – ٥ = ٢
٢٣) |-٩| + |-٥| = ٩ + ٥ = ١٤
٢٤) |-١٠| ÷ ٢ × |٠|
= ١٠ ÷ ٢ × ٠
= ٥ × ٠ = ٠
٢٥) |٢٧| ÷ ٣ – |-٤|
= ٢٧ ÷ ٣ – ٤
= ٩ – ٤ = ٥
٢٦) رياضة: يهبط غواص مسافة ٣ م ، ويرتفع زميله ٢ م. في أي الحالتين تكون القيمة المطلقة أكبر؟ وضح ذلك.
القيمة المطلقة لهبوط الغواص هي |-٣| = ٣.
والقيمة المطلقة لارتفاع زميله هي |٢| = ٢.
بما أن ٣ > ٢، فإن القيمة المطلقة لهبوط الغواص أكبر من القيمة المطلقة لارتفاع زميله.
٢٧) علوم: إذا دلكت بالوناً بشعرك ووضعته على الجدار فإنه يلتصق به. افترض أن عدد الشحنات الموجبة على الجدار ١٧ ، وعدد الشحنات السالبة على البالون ٢٥. اكتب عدداً صحيحاً لكل منهما.
الشحنات الموجبة على الجدار: +١٧ أو ١٧.
الشحنات السالبة على البالون: -٢٥.
مسائل مهارات التفكير العليا
٢٨) استدلال: إذا كان |س| = ٣ ، فما قيمة س؟
قيمة س = ٣ أو -٣ ، لأن |٣| = ٣ و |-٣| = ٣.
٢٩) تحد: بين ما إذا كانت العبارة التالية صحيحة أم خاطئة، وإذا كانت خاطئة فأعط مثالاً مضاداً: “القيمة المطلقة لكل عدد صحيح موجبة”.
العبارة خاطئة لأن القيمة المطلقة للصفر = صفر، والصفر عدد صحيح لا يعتبر موجباً ولا سالباً.
٣٠) اكتب: موقفاً من الواقع تستعمل فيه أعداداً صحيحة سالبة، ووضح معنى العدد السالب في هذا الموقف.
هبط غواص ٣ م، والعدد الصحيح الذي يمثل هبوطه هو -٣ ، والمعنى: نزل الغواص ٣ أمتار تحت سطح البحر.
تدريب على اختبار
٣١) أي النقاط التالية لإحداثيها أكبر قيمة مطلقة؟
أ) النقطة هـ
ب) النقطة و
جـ) النقطة ن
د) النقطة ل
الإجابة الصحيحة: (د) النقطة ل لأن إحداثيها -٩ والقيمة المطلقة |-٩| = ٩ وهي الأكبر.
٣٢) أي المواقف الحياتية الآتية ليس صحيحاً؟
أ) يُعبر عن إيداع ١٠٠ ريال في البنك بالعدد +١٠٠
ب) يُعبر عن خسارة ١٥ نقطة في مسابقة بالعدد -١٥
جـ) يُعبر عن وصول غواصة إلى عمق ٣٠٠ قدم تحت سطح الماء بالعدد +٣٠٠
د) يُعبر عن درجة الحرارة ٢٠ تحت الصفر بالعدد -٢٠
الإجابة الصحيحة: (جـ) لأنه بما أن الغواصة وصلت إلى عمق ٣٠٠ قدم تحت سطح الماء فإن العدد الصحيح هو -٣٠٠ وليس +٣٠٠.
مراجعة تراكمية
أكمل كلاً من الجدولين الآتيين، ثم حدد مجال الدالة ومدى كل منهما:
٣٣) ص = س – ٤
| س | س – ٤ | ص |
|---|---|---|
| ٤ | ٤ – ٤ | ٠ |
| ٥ | ٥ – ٤ | ١ |
| ٦ | ٦ – ٤ | ٢ |
| ٧ | ٧ – ٤ | ٣ |
المجال: {٤ ، ٥ ، ٦ ، ٧}
المدى: {٠ ، ١ ، ٢ ، ٣}
٣٤) ص = ٩ س
| س | ٩ س | ص |
|---|---|---|
| ٠ | ٩(٠) | ٠ |
| ١ | ٩(١) | ٩ |
| ٢ | ٩(٢) | ١٨ |
| ٣ | ٩(٣) | ٢٧ |
المجال: {٠ ، ١ ، ٢ ، ٣}
المدى: {٠ ، ٩ ، ١٨ ، ٢٧}
٣٥) حل المعادلة: ٨,٨ = ٣ س – ١,٢
٣ س – ١,٢ = ٨,٨
نعوض بـ س = ١٠:
٣(١٠) – ١,٢ = ٣٠ – ١,٢ = ٢٨,٨ (غير صحيح)
نعوض بـ س = ١٠ لنبسط: ٣ س = ٨,٨ + ١,٢ = ١٠,٠
إذاً س = ١٠
الاستعداد للدرس اللاحق – مهارة سابقة: ضع إشارة < أو > أو = :
٣٦) ١٦ > ٦
٣٧) ١٠١ < ١١١
٣٨) ٨٣,٧ < ٨٧,٣
٣٩) ١٠٥١ = ١٠٥١
الدرس ٢-٢: مقارنة الأعداد الصحيحة وترتيبها
تحقق من فهمك
ضع إشارة < أو > في الدائرة ليصبح كل مما يأتي جملة صحيحة:
أ) -٨ ، -٤
بما أن -٨ يقع إلى يسار -٤ على خط الأعداد، فإن: -٨ < -٤
ب) ٥ ، -١
بما أن ٥ يقع إلى يمين -١ على خط الأعداد، فإن: ٥ > -١
جـ) -١٠ ، -١٣
بما أن -١٠ يقع إلى يمين -١٣ على خط الأعداد، فإن: -١٠ > -١٣
د) تمثل القوائم التالية الأرباح والخسائر الأسبوعية بالآلاف لمحل تجاري. أيها مرتب من الأصغر إلى الأكبر؟
أ) ٥ ، ٢ ، ٠ ، -١ ، -٣
ب) -٣ ، -١ ، ٠ ، ٢ ، ٥
جـ) -١ ، -٣ ، ٢ ، ٠ ، ٥
د) ٠ ، ١ ، -٢ ، -٣ ، ٥
الإجابة الصحيحة: (ب) الترتيب من الأصغر إلى الأكبر: {-٣ ، -١ ، ٠ ، ٢ ، ٥}
تأكد
ضع إشارة < أو > في الدائرة ليصبح كل مما يأتي جملة صحيحة:
١) -٤ > -٦ (لان -٤ يقع على يمين -٦)
٢) -٢ < ٨ (لان -٢ يقع على يسار ٨)
٣) ٠ > -١٠ (لان ٠ يقع على يمين -١٠)
رتب الأعداد الصحيحة في كل مجموعة من الأصغر إلى الأكبر:
٤) {-١٣ ، ٤ ، ٠ ، -٢ ، ٩}
الترتيب: {-١٣ ، -٢ ، ٠ ، ٤ ، ٩}
٥) {١٥ ، ١٧ ، -١٢ ، -١٩ ، ٠}
الترتيب: {-١٩ ، -١٢ ، ٠ ، ١٥ ، ١٧}
٦) اختيار من متعدد: تم رصد درجات الحرارة الدنيا في بعض المدن في العالم. أي المجموعات التالية يمثل هذه الدرجات مرتبة من الأبرد إلى الأدفأ؟
أ) {-١٢ ، -٤٠ ، -٣٦ ، -١٩}
ب) {-٤٠ ، -٣٦ ، -١٩ ، ١٢}
جـ) {-٤٠ ، -٣٦ ، -١٩ ، -١٢}
د) {-٣٦ ، -٤٠ ، -١٢ ، -١٩}
الإجابة الصحيحة: (ب) الترتيب من الأبرد (الأصغر) إلى الأدفأ (الأكبر): {-٤٠ ، -٣٦ ، -١٩ ، ١٢}
تدرب وحل المسائل
ضع إشارة < أو > في الدائرة ليصبح كل مما يأتي جملة صحيحة:
٧) -٣ > -٧
٨) -١٢ > -٢١
٩) -١٥ > -٣٣
١٠) ١٧ > -٢٠
١١) ٤ > -٤
١٢) -١٢ < ٨
رتب الأعداد الصحيحة في كل مجموعة من الأصغر إلى الأكبر:
١٣) {-٨ ، ١١ ، -٥ ، ٦ ، -٦}
الترتيب: {-٨ ، -٦ ، -٥ ، ٦ ، ١١}
١٤) {-٢٣ ، ١٥ ، -١٥ ، ٩ ، -١٢ ، ٨}
الترتيب: {-٢٣ ، -١٥ ، -١٢ ، ٨ ، ٩ ، ١٥}
١٥) تحليل جداول: رتب المناطق البحرية من الأقرب إلى الأبعد بالنسبة لسطح المحيط:
المناطق والأعماق:
ضوء النهار (٠ م إلى -٢٠٠ م)
الفجر (-٢٠٠ م إلى -١٠٠٠ م)
منتصف الليل (-١٠٠٠ م إلى -٤٠٠٠ م)
اللج (-٤٠٠٠ م إلى -٦٠٠٠ م)
الهدال (-٦٠٠٠ م)
الترتيب من الأقرب إلى الأبعد: ضوء النهار، الفجر، منتصف الليل، اللج، الهدال.
ضع إشارة < أو > أو = :
١٦) |-٣٦| > -٣٧ (لأن |-٣٦| = ٣٦ و ٣٦ > -٣٧)
١٧) -١٢ < |١٢| (لأن |١٢| = ١٢ و -١٢ < ١٢)
١٨) |-٢٩| < |٩٢| (لأن |-٢٩| = ٢٩ و |٩٢| = ٩٢ و ٢٩ < ٩٢)
١٩) طقس: في أي الحالتين يشعر الفرد بالبرودة أكثر: عند درجة حرارة ١٠ °س بسرعة ١٥ ميلاً/ساعة، أم عند درجة حرارة ٥ °س بسرعة ١٠ أعمام/ساعة؟
عند ١٠ °س وسرعة ١٥ ميلاً/ساعة تكون البرودة -٧.
عند ٥ °س وسرعة ١٠ أعمام/ساعة تكون البرودة -١٠.
يشعر الفرد بالبرودة أكثر عند درجة حرارة ٥ °س بسرعة ١٠ أعمام/ساعة لأن -١٠ < -٧.
حدد ما إذا كانت كل جملة صحيحة أم خاطئة، وإن كانت خاطئة فغير أحد العددين لتصبح صحيحة:
٢٠) -٨ > ٥
خاطئة. التصحيح: ٨ > ٥ أو -٨ < ٥
٢١) -٧ < ٠
صحيحة.
٢٢) |-٥| < -٦
خاطئة، لأن |-٥| = ٥. التصحيح: |-٥| > -٦
٢٣) ١٠ < |-٨|
خاطئة، لأن |-٨| = ٨. التصحيح: ١٠ > |-٨| أو ١٠ > ٨
مسائل مهارات التفكير العليا
٢٤) حس عددي: إذا كان العدد صفر هو أكبر عدد صحيح في مجموعة مكونة من خمسة أعداد صحيحة، فماذا تستنتج عن الأعداد الأربعة الأخرى؟
نستنتج أن الأعداد الأربعة الأخرى تقع إلى يسار الصفر على خط الأعداد، وبالتالي جميعها أعداد صحيحة سالبة.
٢٥) تحد: ما أكبر قيمة ممكنة للعدد الصحيح ن إذا كان ن < ٠؟
أكبر قيمة ممكنة للعدد الصحيح ن هي -١.
٢٦) اكتب: فكر في طريقة لترتيب مجموعة من الأعداد الصحيحة السالبة من الأصغر إلى الأكبر دون استعمال خط الأعداد.
الطريقة: الأعداد السالبة ذات القيمة المطلقة الأكبر هي الأعداد الأصغر قيمة. للترتيب {-٩ ، -٥ ، -٣ ، -١}: نقارن القيم المطلقة (٩ ، ٥ ، ٣ ، ١)، القيمة المطلقة الأكبر تعني العدد الأصغر، فمعنى ذلك أن الترتيب من الأصغر للأكبر هو: -٩ ، -٥ ، -٣ ، -١.
تدريب على اختبار
٢٧) أي القوائم مرتبة من الأعلى (الأكبر) إلى الأدنى (الأصغر)؟
أ) -٢٠٠ ، -٤٠٠ ، -١٠٠٠ ، ٢٠٠ ، ٦٠٠
ب) ٦٠٠ ، ٢٠٠ ، -١٠٠٠ ، -٤٠٠ ، -٢٠٠
جـ) ٦٠٠ ، ٢٠٠ ، -٢٠٠ ، -٤٠٠ ، -١٠٠٠
د) -١٠٠٠ ، -٤٠٠ ، -٢٠٠ ، ٦٠٠ ، ٢٠٠
الإجابة الصحيحة: (جـ)
٢٨) أي الجمل الآتية حول القيم الواردة في الجدول غير صحيحة؟
المدن ودرجات الحرارة: س (-١٦)، ص (-١١)، ع (-١٢)، ل (-١٧)، هـ (-١٤).
أ) درجة الحرارة في المدينة ل أقل منها في س
ب) درجة الحرارة في المدينة س أقل منها في ص
جـ) درجة الحرارة في المدينة ع أكبر منها في هـ
د) درجة الحرارة في المدينة هـ أقل منها في س
الإجابة الصحيحة: (د) لأن درجة الحرارة في هـ (-١٤) وهي أكبر من س (-١٦) وليست أقل.
مراجعة تراكمية
اكتب عدداً صحيحاً لكل مما يأتي:
٢٩) ٩ °س تحت الصفر: -٩
٣٠) قفز إلى أعلى ٢ متر: +٢ أو ٢
أشجار: قدر سعيد أنه يستطيع أن يزرع ٦ أشجار كل ساعة.
٣١) اكتب معادلة بمتغيرين تمثل العدد الكلي للأشجار س التي يزرعها سعيد بعد (ن) ساعة:
س = ٦ ن
٣٢) كم شجرة يزرع سعيد في ٤ ساعات؟
س = ٦ × ٤ = ٢٤ شجرة.
الدرس ٢-٣: المستوى الإحداثي
استعد
تحرك علي من الجامعة ٤ مربعات في اتجاه الشمال، فما اسم الشارع الذي سيصل إليه؟
شارع (١١).
استعمل الكلمات شمال، جنوب، شرق، غرب لكتابة إرشادات للتحرك من الحديقة إلى الفندق:
نتحرك من الحديقة ٣ مربعات غرباً في شارع (١٤) ثم ٤ مربعات شمالاً فنصل إلى الفندق.
تحقق من فهمك
اكتب الزوج المرتب المقابل لكل نقطة، ثم حدد الربع الذي تقع فيه أو المحور الذي تقع عليه:
أ) ل: الزوج المرتب هو (٣ ، -٤)، تقع في الربع الرابع.
ب) هـ: الزوج المرتب هو (-٣ ، -٥)، تقع في الربع الثالث.
جـ) ع: الزوج المرتب هو (٤ ، ٠)، تقع على محور السينات.
ارسم المستوى الإحداثي ورسم النقاط الآتية عليه:
د) ل (-٤ ، ٢): الربع الثاني.
هـ) ح (-٥ ، -٣): الربع الثالث.
و) ن (٠ ، ١): على محور الصادات.
استعمل الخريطة لحل ما يأتي:
ز) اكتب الزوج المرتب المقابل لمدينة حائل: (-٣ ، ٢)، تقع في الربع الثاني.
ح) ما المدينة التي تقع عند نقطة الأصل؟ مدينة الرياض (٠ ، ٠).
تأكد
اكتب الزوج المرتب وتحديد الموقع لكل نقطة:
١) ع: (٠ ، ٣) ، تقع على محور الصادات.
٢) ن: (-٣ ، ١) ، تقع في الربع الثاني.
٣) هـ: (-٢ ، -٤) ، تقع في الربع الثالث.
٤) ل: (٥ ، -٢) ، تقع في الربع الرابع.
تمثيل النقاط على المستوى الإحداثي:
٥) ت (٢ ، ٣): الربع الأول.
٦) ط (-٥ ، ٥): الربع الثاني.
٧) غ (٤ ، -٢): الربع الرابع.
٨) ظ (-٤ ، -٢): الربع الثالث.
جغرافيا:
٩) أي المدن تقع عند النقطة (-٢ ، ١)؟ بريدة (الربع الثاني).
١٠) في أي ربع تقع مدينة أبها؟ الربع الثالث.
تدرب وحل المسائل
اكتب الزوج المرتب وتحديد الموُقع:
١١) أ: (-٢ ، ٢) ، الربع الثاني.
١٢) ب: (٥ ، ٤) ، الربع الأول.
١٣) د: (٤ ، -٣) ، الربع الرابع.
١٤) ز: (-٤ ، -١) ، الربع الثالث.
١٥) ح: (٠ ، -٤) ، على محور الصادات.
١٦) ل: (١ ، ٠) ، على محور السينات.
تمثيل النقاط التالية:
١٧) ك (٥ ، ٦) | ١٨) جـ (-٢ ، ١) | ١٩) ر (-١ ، -٧)
٢٠) ص (٧ ، -٨) | ٢١) ط (٠ ، ٦) | ٢٢) س (٣ ، ٠)
٢٣) خ (٤ ، ٠) | ٢٤) ي (٠ ، -٥)
جغرافيا:
٢٥) في أي قارة تقع النقطة (٠ طول ، -١٥ عرض)؟ قارة إفريقيا.
٢٦) أي القارات تقع كاملة في الربع الأول؟ قارة آسيا.
٢٧) هندسة: مثل بيانياً أربع نقاط تشكل رؤوس مربع عند وصلها معاً، وحدد أزواجها المرتبة.
الأزواج المرتبة: أ (٤ ، ٤)، ب (-٤ ، ٤)، جـ (-٤ ، -٤)، د (٤ ، -٤).
٢٨) بحث: توضيح سبب تسمية المستوى الإحداثي بالمستوى الديكارتي.
نسبة إلى العالم الفرنسي رينيه ديكارت فهو أول من ابتكر المستوى الإحداثي وصاحب فكرة الربط بين الهندسة والجبر بتمثيل النقاط إحداثياً.
حدد ما إذا كانت العبارة صحيحة دائماً أم أحياناً أم غير صحيحة أبداً:
٢٩) كل من الإحداثيين السيني والصادي لنقطة تقع في الربع الثالث سالب: صحيحة دائماً.
٣٠) الإحداثي الصادي لنقطة تقع على محور الصادات سالب: صحيحة أحياناً (تكون صحيحة إذا كانت النقطة أسفل نقطة الأصل مثل (٠ ، -٥)، وخاطئة إذا كانت عند نقطة الأصل أو أصلها أعلى من الصفر مثل (٠ ، ٥)).
٣١) الإحداثي الصادي لنقطة تقع في الربع الثاني سالب: غير صحيحة أبداً (الإحداثي الصادي في الربع الثاني يكون دائماً موجباً).
مسائل مهارات التفكير العليا
٣٢) مسألة مفتوحة: اقترح طريقة تحدد من خلالها الربع الذي تقع فيه نقطة دون الاستعانة بالتمثيل البياني.
عن طريق إشارات الإحداثيات: (+ ، +) الربع الأول، (- ، +) الربع الثاني، (- ، -) الربع الثالث، (+ ، -) الربع الرابع. مثال: (-٢ ، ٣) س سالب وص موجب إذن الربع الثاني.
٣٣) اكتب: وضح لماذا يختلف موقع النقطة أ (١ ، -٢) عن موقع النقطة ب (-٢ ، ١).
النقطة أ (١ ، -٢) تقع وحدة يميناً ووحدتين للأسفل فتكون في الربع الرابع.
أما النقطة ب (-٢ ، ١) تقع وحدتين يساراً ووحدة للأعلى فتكون في الربع الثاني.
تدريب على اختبار
٣٤) أي النقاط التالية تقع داخل المثلث المرسوم؟
أ) (-١ ، ٢)
ب) (-٤ ، -١)
جـ) (١ ، ٣)
د) (٢ ، -٢)
الإجابة الصحيحة: (أ)
٣٥) ما إحداثيات النقطة هـ في الشكل؟
أ) (٤ ، -١)
ب) (-٤ ، ١)
جـ) (٤ ، ١)
د) (-٤ ، -١)
الإجابة الصحيحة: (ب) (-٤ ، ١)
مراجعة تراكمية
ضع إشارة < أو > أو = :
٣٦) -٣ > -٨
٣٧) ٢٦ > -٣٠
٣٨) ١٤ < |-١٥| (لأن |-١٥| = ١٥)
٣٩) أوجد القيمة المطلقة للعدد -١٠١: |-١٠١| = ١٠١
٤٠) ماراثون: بدأ فهد بالركض ٨ كم كل يوم من السبت إلى الأربعاء (٥ أيام)، و١٢ كم في كل من الخميس والجمعة (يومان). كم كم ركض فهد في الأسبوع كاملاً؟
المسافة الكلية = (٥ × ٨) + (٢ × ١٢) = ٤٠ + ٢٤ = ٦٤ كم.
مهارة سابقة – اجمع:
٤١) ٢٤٦ + ١٣٨ = ٣٨٤
٤٢) ٥١٢ + ٨١٤ = ١٣٢٦
٤٣) ٦٠٠٣ + ٥٧٣٤ = ١١٧٣٧
استكشاف ٢-٤: معمل الجبر: جمع الأعداد الصحيحة
تحقق من فهمك
استعمل قطع العد أو الرسم لإيجاد المجموع:
أ) ٥ + ٦ = ١١ (ضم ٥ قطع موجبة مع ٦ قطع موجبة)
ب) -٣ + (-٥) = -٨ (ضم ٣ قطع سالبة مع ٥ قطع سالبة)
جـ) -٥ + (-٤) = -٩ (ضم ٥ قطع سالبة مع ٤ قطع سالبة)
د) -٦ + ٥ = -١ (حذف ٥ أزواج صفرية، يتبقى قطعة سالبة)
هـ) ٣ + (-٦) = -٣ (حذف ٣ أزواج صفرية، يتبقى ٣ قطع سالبة)
و) -٢ + ٧ = ٥ (حذف زوجين صفريين، يتبقى ٥ قطع موجبة)
تحليل النتائج
١) اكتب جملة جمع يكون الناتج فيها موجباً، بحيث يكون أحد العددين موجباً والآخر سالباً:
٩ + (-٦) = ٣
٢) اكتب جملة جمع يكون الناتج فيها سالباً، بحيث يكون أحد العددين موجباً والآخر سالباً:
٤ + (-٧) = -٣
٣) خمن: ما القاعدة التي يمكنك استعمالها لتحدد كيفية إيجاد مجموع عددين صحيحين لهما الإشارة نفسها؟ وعددين آخرين لهما إشارتان مختلفتان؟
إذا كان للعددين الإشارة نفسها: نجمع القيم المطلقة ونضع إشارتهما للناتج.
إذا كان للعددين إشارتان مختلفتان: نطرح القيمة المطلقة الأصغر من الكبرى ونضع للناتج إشارة العدد الذي قيمته المطلقة أكبر.
الدرس ٢-٤: جمع الأعداد الصحيحة
استعد
علوم: تتكون الذرات من شحنات سالبة (إلكترونات) وشحنات موجبة (بروتونات)، وتحتوي ذرة الهيليوم على إلكترونين وبروتونين.
عدد الإلكترونات: -٢
عدد البروتونات: +٢
الشحنة الكلية لذرة الهيليوم = -٢ + ٢ = ٠ (صفر).
تحقق من فهمك
أوجد ناتج كل مما يأتي:
أ) -٥ + (-٧) = -١٢
ب) -١٠ + (-٤) = -١٤
جـ) -١٤ + (-١٦) = -٣٠
د) ٢٣ + ٣٨ = ٦١
هـ) ٦ + (-٧) = -١
و) -١٥ + ١٩ = ٤
ز) ١٠ + (-١٢) = -٢
ح) -١٣ + ١٨ = ٥
ط) -١٤ + (-٦) + ٦
= -١٤ + [(-٦) + ٦] (خاصية التجميع)
= -١٤ + ٠ (خاصية النظير الجمعي)
= -١٤ (خاصية العنصر المحايد الجمعي)
ي) طقس: إذا كانت درجة الحرارة ١٣ °س، وانخفضت بعد ساعة ٦ °س، وارتفعت بعد ساعتين ٤ °س، فاكتب جملة جمع لوصف هذه التغيرات ثم أوجد الناتج وفسره.
جملة الجمع: ١٣ + (-٦) + ٤
= ١٣ + ٤ + (-٦) (الإبدال)
= ١٧ + (-٦) = ١١
إذاً أصبحت درجة الحرارة = ١١ °س.
تأكد
أوجد الناتج في كل مما يأتي:
١) -٦ + (-٨) = -١٤
٢) ٤ + ٥ = ٩
٣) -٣ + ١٠ = ٧
٤) -١٥ + ٨ = -٧
٥) -١٧ + ٢٠ + (-٣)
= -١٧ + [٢٠ + (-٣)] = -١٧ + ١٧ = ٠
٦) ١٥ + ٩ + (-٩)
= ١٥ + [٩ + (-٩)] = ١٥ + ٠ = ١٥
٧) نقود: يبلغ رصيد عائشة في البنك ٤٢٥ ريالاً، سحبت منه ٥٦ ريالاً، ثم أودعت ٢٣٥ ريالاً. اكتب جملة الجمع ثم أوجد الناتج وفسره.
جملة الجمع: ٤٢٥ + (-٥٦) + ٢٣٥
= ٤٢٥ + ٢٣٥ + (-٥٦) = ٦٦٠ + (-٥٦) = ٦٠٤ ريالات.
الرصيد الحالي لعائشة هو ٦٠٤ ريالات.
تدرب وحل المسائل
أوجد الناتج:
٨) -٢٢ + (-١٦) = -٣٨
٩) ١٧ + ١١ = ٢٨
١٠) ١٣ + (-١٩) = -٦
١١) -١٢ + ١٠ = -٢
١٢) -٨ + (-٤) + ١٢ = -١٢ + ١٢ = ٠
١٣) -٣٤ + ٣٥ + (-٢٥) = ١ + (-٢٥) = -٢٤
اكتب جملة الجمع ثم أوجد الناتج وفسره:
١٤) غوص: غاص مهند مسافة ١٤ متراً تحت سطح الماء وشاهد سمكة تعلوه ٣ أمتار.
الجملة: -١٤ + ٣ = -١١ م.
السمكة على عمق ١١ متراً تحت سطح الماء.
١٥) طيور: هبط طائر بجع من ارتفاع ٢٠ متراً فوق سطح البحر وغاص ٢٠ متراً ليلتقط سمكة.
الجملة: -٢٠ + (-٢٠) = -٤٠ م.
المسافة الكلية التي قطعها الطائر هبوطاً وغوصاً هي ٤٠ متراً.
١٦) بنك: يدخر خالد مبلغا من المال لشراء دراجة جديدة ولديه ٤٨ ريالاً. أكمل الجدول بعد كل عملية إيداع أو سحب:
| العملية | المبلغ | الرصيد بعد العملية |
|---|---|---|
| إيداع | ٤٢ ريالاً | ٤٨ + ٤٢ = ٩٠ ريالاً |
| سحب | ٣٦ ريالاً | ٩٠ + (-٣٦) = ٥٤ ريالاً |
| إيداع | ٢٨ ريالاً | ٥٤ + ٢٨ = ٨٢ ريالاً |
| سحب | ١١ ريالاً | ٨٢ + (-١١) = ٧١ ريالاً |
| إيداع | ٣٦ ريالاً | ٧١ + ٣٦ = ١٠٧ ريالات |
جبر: احسب قيمة كل عبارة إذا كانت س = -١٠ ، ص = ٧ ، ع = -٨:
١٧) س + ١٤ = -١٠ + ١٤ = ٤
١٨) ع + (-٥) = -٨ + (-٥) = -١٣
١٩) س + ص = -١٠ + ٧ = -٣
٢٠) ع + س = -٨ + (-١٠) = -١٨
مسائل مهارات التفكير العليا
٢١) اكتشف الخطأ: عمر وسعود يحاولان إيجاد -١٢ + ١٥.
عمر: -١٢ + ١٥ = ٣
سعود: -١٢ + ١٥ = -٣
إجابة عمر هي الصحيحة لأن العددين مختلفان في الإشارة فنطرح ونأخذ إشارة العدد الذي قيمته المطلقة أكبر (١٥ أكبر من ١٢ وإشارتها موجبة).
بسط كلا مما يأتي:
٢٢) ٨ + (-٨) + أ = ٠ + أ = أ
٢٣) س + (-٥) + ١ = س + (-٤)
٢٤) -٩ + ص + (-٦) = ص + (-٩ + -٦) = ص + (-١٥)
٢٥) اكتب: وضح كيف يمكنك معرفة ما إذا كان ناتج الجمع موجباً، أم سالباً، أم مساوياً صفراً دون إجراء عملية الجمع.
– إذا كان للعددين إشارة موجبة فالناتج موجب.
– إذا كان للعددين إشارة سالبة فالناتج سالب.
– إذا اختلفت الإشارات نطرح القيمة المطلقة، ويأخذ الناتج إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر.
– إذا تم جمع عدد ومعكوسه الجمعي يكون الناتج صفراً.
تدريب على اختبار
٢٦) أوجد ناتج -٨ + (-١١):
-١٩
٢٧) قيمة -٨ + ٧ + (-٣):
أ) -١٨
ب) -٤
جـ) ٢
د) ١٨
الإجابة الصحيحة: (ب) -٤
٢٨) درجة الحرارة: كانت الحرارة -٢ °س في القريات عند ٥ صباحاً، ارتفعت ٩ °س عند ١٠ صباحاً، ثم ارتفعت ٦ °س عند ٣ ظهراً. كم أصبحت الحرارة؟
أ) ١٣ °س فوق الصفر
ب) ١٧ °س فوق الصفر
جـ) ١٣ °س تحت الصفر
د) ١٧ °س تحت الصفر
-٢ + ٩ + ٦ = ٧ + ٦ = ١٣ °س فوق الصفر.
الإجابة الصحيحة: (أ)
مراجعة تراكمية
اكتب الزوج المرتب وتحديد الموقع:
٢٩) ن: (-٢ ، ٤) ، الربع الثاني.
٣٠) ك: (٠ ، -٢) ، على محور الصادات.
٣١) ل: (-٣ ، -١) ، الربع الثالث.
٣٢) هـ: (١ ، ١) ، الربع الأول.
٣٣) رتب الأعداد الصحيحة: ٦ ، -٣ ، ٠ ، ١ ، -٤ ، -٨ من الأصغر إلى الأكبر:
{-٨ ، -٤ ، -٣ ، ٠ ، ١ ، ٦}
مهارة سابقة – اطرح:
٣٤) ٢٨٧ – ١٢٥ = ١٦٢
٣٥) ٣١٤٢ – ٧٠٣ = ٢٤٣٩
٣٦) ٧٠٠٠ – ٣٨٩١ = ٣١٠٩
اختبار منتصف الفصل (الدروس من ٢-١ إلى ٢-٤)
اكتب عدداً صحيحاً لكل مما يأتي:
١) انخفاض ٤٥ متراً: -٤٥
٢) سحب بنكي مقداره ١٥٠ ريالاً: -١٥٠
٣) مكسب ٨ ريالات: +٨ أو ٨
٤) دفع فاتورة قيمتها ٢٥ ريالاً: -٢٥
٥) محيطات: أخدود ماريانا يقع على عمق ١١ كيلومتراً تحت سطح البحر. اكتب عدداً صحيحاً يمثل هذا العمق.
-١١ كم (أو -١١٠٠٠ م).
أوجد قيمة كل مقدار مما يأتي:
٦) |-١٦| = ١٦
٧) |-٩| – |٣| = ٩ – ٣ = ٦
٨) |-١٣| + |١| = ١٣ + ١ = ١٤
٩) |-٢٤| = ٢٤
١٠) اختيار من متعدد: ترتب الأعداد -٧ ، ٤ ، -٣ ، ٢ ، ٩ ، -٨ ، ١ من الأصغر إلى الأكبر على النحو:
أ) ٩ ، ٤ ، ٢ ، ١ ، -٣ ، -٧ ، -٨
ب) -٧ ، -٨ ، -٣ ، ١ ، ٢ ، ٤ ، ٩
جـ) -٨ ، -٧ ، -٣ ، ١ ، ٢ ، ٤ ، ٩
د) -٨ ، -٧ ، ١ ، ٢ ، -٣ ، ٤ ، ٩
الإجابة الصحيحة: (جـ)
ضع إشارة < أو > أو = :
١١) -٤ < ٤
١٢) -١١ < -٨
١٣) |-١٤| > |٣| (لأن ١٤ > ٣)
١٤) |-١٢| = |١٢| (لأن ١٢ = ١٢)
ارسم المستوى الإحداثي ومثل النقاط الآتية عليه:
١٥) ل (٤ ، -٢): الربع الرابع.
١٦) م (٠ ، -٥): على محور الصادات.
١٧) ن (-١ ، ٣): الربع الثاني.
١٨) اختيار من متعدد: أي خط مستقيم مما يأتي تقع عليه النقطة (-١ ، ٤)؟
أ) المستقيم و
ب) المستقيم هـ
جـ) المستقيم ت
د) المستقيم ز
الإجابة الصحيحة: (أ) المستقيم و.
اجمع:
١٩) ٣ + (-٣) + ٤ = ٠ + ٤ = ٤
٢٠) ٧ + (-١١) = -٤
٢١) -٥ + (-٦) = -١١
٢٢) ٨ + (-١) + ١ = ٨ + ٠ = ٨
٢٣) اختيار من متعدد: أودعت سعاد ٢٠٠٠ ريال ثم أودعت ١٥٠٠ ريال وسحبت ٥٠٠ ريال. ما العبارة التي تمثل المبلغ الموجود في حسابها الآن؟
أ) ٢٠٠٠ ريال + (-١٥٠٠ ريال) + (-٥٠٠ ريال)
ب) ٢٠٠٠ ريال + (-١٥٠٠ ريال) + (٥٠٠ ريال)
جـ) ٢٠٠٠ ريال + (١٥٠٠ ريال) + (٥٠٠ ريال)
د) ٢٠٠٠ ريال + (١٥٠٠ ريال) + (-٥٠٠ ريال)
الإجابة الصحيحة: (د)
استكشاف ٢-٥: معمل الجبر: طرح الأعداد الصحيحة
تحقق من فهمك
استعمل قطع العد أو الرسم لإيجاد كل مما يأتي:
أ) ٧ – ٦ = ١
ب) ٥ – (-٣) = ٨ (إضافة ٣ أزواج صفرية ثم حذف ٣ قطع سالبة)
جـ) ٦ – (-٣) = ٩ (إضافة ٣ أزواج صفرية ثم حذف ٣ قطع سالبة)
د) ٥ – ٨ = -٣ (إضافة ٣ أزواج صفرية ثم حذف ٨ قطع موجبة)
هـ) -٨ – (-٩) = ١
و) -٧ – ٣ = -١٠
ز) -٥ – (-٧) = ٢
تحليل النتائج
١) اكتب جملة طرح يكون فيها ناتج الطرح موجباً، مستعملاً أعداداً صحيحة موجبة وسالبة:
٩ – ٤ = ٥ أو ٥ – (-٣) = ٨
٢) اكتب جملة طرح يكون فيها ناتج الطرح سالباً، مستعملاً أعداداً صحيحة موجبة وسالبة:
٩ – ١١ = -٢ أو -٥ – ٣ = -٨
٣) خمن: ما القاعدة التي يمكنك استعمالها لتحدد إشارة ناتج الفرق بين عددين صحيحين؟
يكون الفرق موجباً إذا كان المطروح منه أكبر من المطروح.
ويكون سالباً إذا كان المطروح منه أصغر من المطروح.
الدرس ٢-٥: طرح الأعداد الصحيحة
نشاط
١) اكتب جملة جمع تكافئ جملة الطرح الممثلة على خط الأعداد (١ – ٧):
١ + (-٧) = -٦
استعمل خط الأعداد لإيجاد كل مما يلي واكتب جملة جمع مكافئة:
٢) ١ – ٥
جملة الجمع المكافئة: ١ + (-٥) = -٤
٣) -٢ – ١
جملة الجمع المكافئة: -٢ + (-١) = -٣
٤) -٣ – ٤
جملة الجمع المكافئة: -٣ + (-٤) = -٧
٥) ٠ – ٥
جملة الجمع المكافئة: ٠ + (-٥) = -٥
تحقق من فهمك
أوجد ناتج كل مما يأتي:
أ) ٦ – ١٢
= ٦ + (-١٢) (لطرح ١٢ نجمع المعكوس -١٢)
= -٦
ب) -٢٠ – ١٥
= -٢٠ + (-١٥)
= -٣٥
جـ) -٢٢ – ٢٦
= -٢٢ + (-٢٦)
= -٤٨
د) ٤ – (-١٢)
= ٤ + ١٢
= ١٦
